Use the implicit function theorem to show that √ + 3 + 4 + ln( + 2 ) = 2 + + 2 implies an explicitly defined function y f x = ( ) at the point (1,1). What is the value of the slope of tangent line of the function y f x = ( ) at the point (1,1)?

Используем неявную функцию ( , )=√ +3 + 4+ln( + 2)−2− −ln2=0.

Найдем ∂ /∂ : ∂ /∂ =3+ 34(1+ )

В точке (1,1) получаем ∂ /∂ =3+ /2≠0.

Теперь посчитаем ∂ /∂ и найдем ∂ /∂ : ∂ /∂ =1+ 4(1+ )

И снова в точке (1,1) ∂ /∂ =1+ /2≠0.

Значит, по теореме о неявной функции, существует функция =( ), определенная в некоторой окрестности (1,1).

Теперь найдем значение ‘ (производная по ) в точке (1,1). Рассмотрим уравнение (1,1)=0 и продифференцируем его по :

∂ /∂ +∂ /∂ ∙ ‘ = 0

Подставляем значения ∂ /∂ =1+ /2, ∂ /∂ =3+ /2 и решаем относительно ‘:

(1+ /2)+((3+ /2)∙ ‘ = 0

‘ = −(1+ /2)/(3+ /2)

Таким образом, значение углового коэффициента касательной к функции =( ) в точке (1,1) равно −(1+ /2)/(3+ /2).