Пусть A, B и C — события “больной страдал заболеванием А”, “больной страдал заболеванием В”, “больной страдал заболеванием С” соответственно. Требуется найти условную вероятность P(C|H), где H — событие “пациент выписан здоровым”.
По формуле условной вероятности:
P(C|H) = (P(C) × P(H|C)) / P(H),
где P(C) — вероятность события C, P(H|C) — вероятность события H при условии, что произошло событие C, P(H) — полная вероятность события H.
Из условия задачи известно, что 15% пациентов страдают от заболевания А, 27% — от заболевания В и 58% — от заболевания С:
P(A) = 0,15, P(B) = 0,27, P(C) = 0,58.
Также известно, что вероятность полного излечения заболевания A равна 0,7, для заболеваний В и С эти вероятности равны соответственно 0,8 и 0,9:
P(H|A) = 0,7, P(H|B) = 0,8, P(H|C) = 0,9.
Полная вероятность события H можно найти, используя формулу полной вероятности:
P(H) = P(A) × P(H|A) + P(B) × P(H|B) + P(C) × P(H|C).
Подставив известные значения, получим:
P(H) = 0,15 × 0,7 + 0,27 × 0,8 + 0,58 × 0,9 = 0,105 + 0,216 + 0,522 =0,843.
Теперь, подставляя все ранее найденные вероятности в формулу условной вероятности, найдем искомую вероятность:
P(C|H) = (P(C) × P(H|C)) / P(H) = (0,58 × 0,9) / 0,843 = 0,522 / 0,843 ≈ 0,619.
Таким образом, вероятность того, что больной страдал заболеванием С, составляет примерно 0,619 или 61,9%.