Шаг 1: Начнем с определения границ области D. Заданы три линии:
– x = 1,
– y = √x,
– y = -x^2.
Шаг 2: Нарисуем графики этих линий на плоскости x-y, чтобы получить представление об области D.
Шаг 3: Поставим эти линии в порядок роста x, чтобы определить пределы интегрирования.
– Сначала выберем верхнюю границу области. Видим, что уравнения y = √x и y = -x^2 пересекаются при x = 1, поэтому верхняя граница будет всегда y = √x.
– Затем выберем нижнюю границу области. Видим, что верхняя граница y = √x пересекает x = 1 (правая граница), поэтому нижняя граница будет y = -1 до x = 1, а после x = 1 будет y = -x^2.
Шаг 4: Определим пределы интегрирования для x и y.
– Пределы интегрирования по x будут от 1 до 0, так как они определены обратно от пределов границ области D.
– Пределы интегрирования по y будут от -√x до -x^2.
Шаг 5: Теперь, когда мы получили пределы интегрирования, вычислим интеграл ∫∫(9x^2y^2 + 25x^4y^4) dxdy в заданной области D.
– Сначала возьмем первый член 9x^2y^2. Интегрируем по y с пределами от -√x до -x^2:
∫(9x^2y^2) dy = 9x^2 * [y^3/3] от -√x до -x^2.
– Затем возьмем второй член 25x^4y^4. Интегрируем по y с теми же пределами:
∫(25x^4y^4) dy = 25x^4 * [y^5/5] от -√x до -x^2.
– Интегрируем полученные выражения по x с пределами от 1 до 0:
∫(9x^2 * [y^3/3]) dx + ∫(25x^4 * [y^5/5]) dx.
Шаг 6: Заметим, что внутренние интегралы зависят от переменной y, поэтому для упрощения вычислений мы можем выносить константы 9/3 и 25/5 от внутренних интегралов.
Шаг 7: Запишем окончательный ответ:
[9/3 * ∫(x^2 * y^3) dx + 25/5 * ∫(x^4 * y^5) dx] от 1 до 0.
Шаг 8: Выполним вычисления и получим окончательный ответ двойного интеграла.