Для вычисления двойного интеграла такого вида необходимо определить пределы интегрирования по области и произвести последовательное интегрирование.
Данная задача указывает, что прямоугольник ограничен осями координат и прямыми x=1 и y=4. Значит, для определения пределов интегрирования нам необходимо найти x и y, при которых происходит пересечение этих прямых.
Пересечение прямых x=1 и y=4 находится в точке (1, 4), поэтому пределы интегрирования будут следующими:
x: от 0 до 1
y: от 0 до 4
Теперь мы можем записать двойной интеграл (2х+3у)dxdy в виде:
∬(0,4) (0,1) (2x+3y) dxdy
Для вычисления интеграла сначала интегрируем по переменной x, затем по переменной y.
1. Интегрируем по x:
∫(0,1) (2x+3y)dx = [x^2 + 3xy] (0,1) = (1 + 3y) – (0 + 0) = 1 + 3y
2. Интегрируем по y:
∫(0,4) (1 + 3y)dy = [y + (3/2)y^2] (0,4) = (4 + (3/2)*16) – (0 + 0) = 4 + 24 = 28
Итак, значение двойного интеграла (2х+3у)dxdy по заданной области равно 28.
Поставленная задача решена.