Вычислить интеграл ∫CF⋅d r, где F=⟨−5sinx,3cosy,10xz⟩ и кривая C задана уравнением r(t)=(3t3,−2t2,2t) , 0≤t≤1

Интеграл линейной формы dF по кривой C определяется как интеграл от скалярного произведения F и производной вектора положения r(t) по параметру t:

∫CF⋅dr = ∫(F⋅dr/dt) dt

Для данной задачи, F = ⟨-5sin(x), 3cos(y), 10xz⟩ и r(t) = (3t^3, -2t^2, 2t), мы должны найти производную вектора положения dr/dt и вычислить скалярное произведение с F, а затем проинтегрировать это выражение в пределах от 0 до 1.

Шаги решения:
1. Найдите производную вектора положения r(t) по параметру t, найдя производные каждого компонента r(t) по t.
dr/dt = (9t^2, -4t, 2)
2. Вычислите скалярное произведение F и dr/dt.
F⋅dr/dt = -5sin(x)*9t^2 + 3cos(y)*(-4t) + 10xz*2
= -45t^2sin(x) – 12tcos(y) + 20xtz
3. Проинтегрируйте данное выражение по параметру t в пределах от 0 до 1.
∫(-45t^2sin(x) – 12tcos(y) + 20xtz) dt = -15t^3sin(x) – 6t^2cos(y) + 10xzt^2
Затем подставьте пределы интегрирования от 0 до 1 и вычислите значение интеграла.
= (-15sin(x) + 6cos(y) + 10xz) – (0 – 0 + 0)
= -15sin(x) + 6cos(y) + 10xz

Таким образом, значение данного интеграла ∫CF⋅dr равно -15sin(x) + 6cos(y) + 10xz.