Для начала найдем производную функции y’=6x^2-4x+5.
Чтобы найти интервалы монотонности, найдем значения x, при которых производная равна нулю и определим знак производной в этих точках.
Для этого приравняем выражение для производной к нулю и решим полученное квадратное уравнение:
6x^2-4x+5=0
Дискриминант D=(-4)^2-4*6*5=-104
Поскольку D<0, уравнение не имеет действительных корней, следовательно, производная не обращается в ноль, значит, функция не имеет экстремумов. Таким образом, на отрезке [-3, 5] функция y=2x^3-2x^2+5x-3 может достигать своих наибольшего и наименьшего значения только в концах отрезка. Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке [-3, 5], подставим конечные значения отрезка в функцию и выберем наибольшее и наименьшее значения: Для x=-3: y = 2(-3)^3 - 2(-3)^2 + 5(-3) - 3 = -63 - 18 - 15 - 3 = -99. Для x=5: y = 2(5)^3 - 2(5)^2 + 5(5) - 3 = 250 - 50 + 25 - 3 = 222. Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке [-3, 5] равно 222, а наименьшее значение равно -99.