На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
Дана функция y = √[3]{(2+3x)/(1-3x)}.
1. Найдем область определения функции: чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, необходимо, чтобы (2+3x)/(1-3x) ≥ 0. Решим неравенство (2+3x)/(1-3x) ≥ 0:
a) Рассмотрим знак числителя 2+3x и знак знаменателя 1-3x:
– Числитель 2+3x ≥ 0, если x ≥ -2/3.
– Знаменатель 1-3x > 0, если x < 1/3.
b) Составим таблицу знаков:
(-∞, -2/3) | (-2/3, 1/3) | (1/3, +∞)
_________________________________________
(-) | (+) | (-)
- В интервале (-∞, -2/3) и (1/3, +∞) подкоренное выражение имеет отрицательный знак.
- В интервале (-2/3, 1/3) подкоренное выражение имеет положительный знак.
c) Получили, что неравенство (2+3x)/(1-3x) ≥ 0 выполняется, если x принадлежит интервалу (-∞, -2/3) объединённому с интервалом (-2/3, 1/3). То есть, область определения функции y = √[3]{(2+3x)/(1-3x)}: (-∞, -2/3) ∪ (-2/3, 1/3).
2. Найдем производную функции для определения ее поведения:
y = √[3]{(2+3x)/(1-3x)}.
a) Возьмем логарифм от обеих сторон уравнения:
ln(y) = ln(√[3]{(2+3x)/(1-3x)}).
b) Возьмем производную от обеих сторон уравнения, используя цепное правило дифференцирования:
(1/y) * y' = (1/3) * [((2+3x)/(1-3x))^(-2/3)] * ((2+3x)' * (1-3x) - (1-3x)' * (2+3x)).
c) Упростим производную, учитывая, что (2+3x)' = 3 и (1-3x)' = -3:
y' = (1/3) * [((2+3x)/(1-3x))^(-2/3)] * (3 * (1-3x) + 3 * (2+3x)).
3. Чтобы узнать экстремумы функции, найдем точки, в которых производная равна нулю:
y' = 0.
a) Решим уравнение y' = 0:
(1/3) * [((2+3x)/(1-3x))^(-2/3)] * (3 * (1-3x) + 3 * (2+3x)) = 0.
b) Учитывая, что (1/3) * [((2+3x)/(1-3x))^(-2/3)] > 0, получим, что (3 * (1-3x) + 3 * (2+3x)) = 0.
c) Решим получившееся линейное уравнение:
3 – 9x + 6 + 9x = 0,
9 = 0.
d) Уравнение 9 = 0 не имеет решений, значит точек экстремума у данной функции нет.
4. Определим интервалы монотонности функции, исследуя знаки производной:
a) Составим таблицу знаков для производной:
(-∞, -2/3) | (-2/3, 1/3) | (1/3, +∞)
_________________________________________
(-) | (+) | (-)
b) Получили, что производная функции y = √[3]{(2+3x)/(1-3x)} < 0 на интервале (-∞, -2/3) и на интервале (1/3, +∞), и производная > 0 на интервале (-2/3, 1/3).
5. Определим поведение функции на интервалах:
a) На интервале (-∞, -2/3) и (1/3, +∞) функция убывает.
b) На интервале (-2/3, 1/3) функция возрастает.
Таким образом, мы определили область определения функции, нашли её производную, точки экстремума и интервалы монотонности. Это позволяет понять основные свойства графика данной функции.
