Метод Гаусса используется для решения систем линейных уравнений. Давайте решим данную систему по шагам:
Шаг 1: Приведение системы к треугольному виду.
Умножим первое уравнение на 2 и сложим с вторым уравнением, чтобы устранить переменную “a”:
4a + 4в – 10с = -2
2a – в – 3c = 13
—————-
6a + 3в – 13с = 11
Теперь умножим первое уравнение на -1 и сложим с третьим уравнением, чтобы устранить переменную “a”:
-2a – 2в + 5с = 1
a + 2в – с = 9
—————-
-2в + 4с = 10
Шаг 2: Приведение системы к ступенчатому виду.
Перенесем последнее уравнение вниз:
6a + 3в – 13с = 11
-2в + 4с = 10
a + 2в – с = 9
Шаг 3: Обратный ход.
Из третьего уравнения выразим “в”:
a + 2в – с = 9
2в = с – a – 9
в = (с – a – 9) / 2
Возьмем это выражение и подставим во второе уравнение:
-2в + 4с = 10
-2((с – a – 9) / 2) + 4с = 10
-с + a + 9 + 4с = 10
5с + a + 9 = 10
5с + a = 1
Теперь избавимся от переменной “a”, выразив ее через “с”:
a = 1 – 5с
Подставим это значение в первое уравнение:
6a + 3в – 13с = 11
6(1 – 5с) + 3в – 13с = 11
6 – 30с + 3в – 13с = 11
-43с + 3в = 5
Шаг 4: Решение системы.
Таким образом, имеем систему из двух уравнений:
-2в + 4с = 10
-43с + 3в = 5
Решим эту систему методом подстановки или методом исключения переменных:
-2в + 4с = 10 (умножим уравнение на 3)
-6в + 12с = 30
-6в + 12с = 30
-43с + 3в = 5 (умножим уравнение на 4)
-172с + 12в = 20
Сложим уравнения:
-6в + 12с + (-172с + 12в) = 30 + 20
6в – 160с = 50
Разделим уравнение на 2:
3в – 80с = 25
Таким образом, получаем систему:
-6в + 12с = 30
3в – 80с = 25
Перейдем к решению этой системы снова методом подстановки или методом исключения переменных:
-6в + 12с = 30
3в – 80с = 25 (умножим уравнение на 2)
6в – 160с = 50
Вычтем уравнения:
(-6в + 12с) – (6в – 160с) = 30 – 50
-6в + 12с – 6в + 160с = -20
172с = -20
Избавимся от коэффициента:
с = -20 / 172
с = -0,11628 (округленно до пятого знака после запятой)
Подставим значение переменной “с” в одно из исходных уравнений, например, во второе уравнение:
3в – 80с = 25
3в – 80(-0.11628) = 25
3в + 9.3024 = 25
3в = 15.6976
в = 15.6976 / 3
в = 5,2325 (округленно до четвертого знака после запятой)
Теперь найдем “a”, подставив значения “с” и “в” в одно из исходных уравнений, например, в третье:
a + 2в – с = 9
a + 2(5.2325) + 0.11628 = 9
a + 10.465 + 0.11628 = 9
a + 10.58128 = 9
a = 9 – 10.58128
a = -1.58128
Таким образом, решение системы уравнений:
a = -1.58128
в = 5,2325
с = -0,11628