1. Дифференциал заданной функции можно найти, используя правило нахождения дифференциала для степенной функции:
1.1. Найдем производную функции f(x) = x^n, где n – степень функции. В данном случае n = 3.
Производная функции f(x) = x^3 равна f'(x) = 3x^2.
1.2. Запишем дифференциал dx: df = f'(x) * dx.
1.3. Дифференциал функции f(x) = x^3 равен df = 3x^2 * dx.
2. Вычислим приближенное значение выражения (9,95)^3:
2.1. Заметим, что число 9,95 близко к 10. Для нахождения приближенного значения можно использовать разложение в ряд Тейлора, при условии, что значение, от которого берется разложение, находится близко к значению разложения.
2.2. Разложим функцию f(x) = x^3 в ряд Тейлора в окрестности точки x = 10:
f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x – a) + f”(a)(x – a)^2 / 2,
где a = 10.
2.3. Подставим значения в формулу:
f(9,95) ≈ f(10) + f'(10)(9,95 – 10) + f”(10)(9,95 – 10)^2 / 2.
2.4. Вычислим значения функции и ее производных в точке x = 10:
f(10) = 10^3 = 1000,
f'(10) = 3 * 10^2 = 300,
f”(10) = 6 * 10^(2 – 1) = 60.
2.5. Подставим значения в формулу:
f(9,95) ≈ 1000 + 300 * (9,95 – 10) + 60 * (9,95 – 10)^2 / 2.
2.6. Вычислим полученное значение:
f(9,95) ≈ 1000 + 300 * (-0,05) + 60 * (-0,05)^2 / 2 = 1000 – 15 + 0,00375 = 985,00375.
Ответ:
1. Дифференциал функции f(x) = x^3 равен df = 3x^2 * dx.
2. Приближенное значение выражения (9,95)^3 равно 985,00375.