10*cos(x)^2+3*cos(x)-1>=0

$$10 cos^{2}{left (x right )} + 3 cos{left (x right )} – 1 geq 0$$

Дано неравенство:
$$10 cos^{2}{left (x right )} + 3 cos{left (x right )} – 1 geq 0$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$10 cos^{2}{left (x right )} + 3 cos{left (x right )} – 1 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$10 cos^{2}{left (x right )} + 3 cos{left (x right )} – 1 = 0$$
преобразуем
$$10 cos^{2}{left (x right )} + 3 cos{left (x right )} – 1 = 0$$
$$10 cos^{2}{left (x right )} + 3 cos{left (x right )} – 1 = 0$$
Сделаем замену
$$w = cos{left (x right )}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$w_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = 10$$
$$b = 3$$
$$c = -1$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(3)^2 – 4 * (10) * (-1) = 49

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = frac{1}{5}$$
$$w_{2} = – frac{1}{2}$$
делаем обратную замену
$$cos{left (x right )} = w$$
Дано уравнение
$$cos{left (x right )} = w$$
– это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = pi n + {acos}{left (w right )}$$
$$x = pi n + {acos}{left (w right )} – pi$$
Или
$$x = pi n + {acos}{left (w right )}$$
$$x = pi n + {acos}{left (w right )} – pi$$
, где n – любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = pi n + {acos}{left (w_{1} right )}$$
$$x_{1} = pi n + {acos}{left (frac{1}{5} right )}$$
$$x_{1} = pi n + {acos}{left (frac{1}{5} right )}$$
$$x_{2} = pi n + {acos}{left (w_{2} right )}$$
$$x_{2} = pi n + {acos}{left (- frac{1}{2} right )}$$
$$x_{2} = pi n + frac{2 pi}{3}$$
$$x_{3} = pi n + {acos}{left (w_{1} right )} – pi$$
$$x_{3} = pi n – pi + {acos}{left (frac{1}{5} right )}$$
$$x_{3} = pi n – pi + {acos}{left (frac{1}{5} right )}$$
$$x_{4} = pi n + {acos}{left (w_{2} right )} – pi$$
$$x_{4} = pi n – pi + {acos}{left (- frac{1}{2} right )}$$
$$x_{4} = pi n – frac{pi}{3}$$
$$x_{1} = frac{2 pi}{3}$$
$$x_{2} = frac{4 pi}{3}$$
$$x_{3} = – {acos}{left (frac{1}{5} right )} + 2 pi$$
$$x_{4} = {acos}{left (frac{1}{5} right )}$$
$$x_{1} = frac{2 pi}{3}$$
$$x_{2} = frac{4 pi}{3}$$
$$x_{3} = – {acos}{left (frac{1}{5} right )} + 2 pi$$
$$x_{4} = {acos}{left (frac{1}{5} right )}$$
Данные корни
$$x_{4} = {acos}{left (frac{1}{5} right )}$$
$$x_{1} = frac{2 pi}{3}$$
$$x_{2} = frac{4 pi}{3}$$
$$x_{3} = – {acos}{left (frac{1}{5} right )} + 2 pi$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{4}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{4} – frac{1}{10}$$
=
$$- frac{1}{10} + {acos}{left (frac{1}{5} right )}$$
=
$$- frac{1}{10} + {acos}{left (frac{1}{5} right )}$$
подставляем в выражение
$$10 cos^{2}{left (x right )} + 3 cos{left (x right )} – 1 geq 0$$

2
10*cos (acos(1/5) – 1/10) + 3*cos(acos(1/5) – 1/10) – 1 >= 0

2
-1 + 3*cos(1/10 – acos(1/5)) + 10*cos (1/10 – acos(1/5)) >= 0

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x leq {acos}{left (frac{1}{5} right )}$$

_____ _____ _____
/ /
——-•——-•——-•——-•——-
x4 x1 x2 x3

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x leq {acos}{left (frac{1}{5} right )}$$
$$x geq frac{2 pi}{3} wedge x leq frac{4 pi}{3}$$
$$x geq – {acos}{left (frac{1}{5} right )} + 2 pi$$

/ /2*pi 4*pi
Or|And|—- <= x, x <= ----|, And(x <= acos(1/5), -oo < x), And(-acos(1/5) + 2*pi <= x, x < oo)| 3 3 / /

$$left(frac{2 pi}{3} leq x wedge x leq frac{4 pi}{3}right) vee left(x leq {acos}{left (frac{1}{5} right )} wedge -infty < xright) vee left(- {acos}{left (frac{1}{5} right )} + 2 pi leq x wedge x < inftyright)$$

2*pi 4*pi
(-oo, acos(1/5)] U [—-, —-] U [-acos(1/5) + 2*pi, oo)
3 3

$$x in left(-infty, {acos}{left (frac{1}{5} right )}right] cup left[frac{2 pi}{3}, frac{4 pi}{3}right] cup left[- {acos}{left (frac{1}{5} right )} + 2 pi, inftyright)$$