(15-16^(x+1))*1/(4^(2*x)-4)>=2^(4*x+1)-3

$$frac{- 16^{x + 1} + 15}{4^{2 x} – 4} geq 2^{4 x + 1} – 3$$

Дано неравенство:
$$frac{- 16^{x + 1} + 15}{4^{2 x} – 4} geq 2^{4 x + 1} – 3$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{- 16^{x + 1} + 15}{4^{2 x} – 4} = 2^{4 x + 1} – 3$$
Решаем:
$$x_{1} = – frac{1}{4}$$
$$x_{2} = frac{1}{log{left (2 right )}} left(- frac{1}{2} log{left (2 right )} + frac{1}{4} log{left (3 right )} + log{left (-1 – i right )}right)$$
$$x_{3} = frac{1}{log{left (2 right )}} left(- frac{1}{2} log{left (2 right )} + frac{1}{4} log{left (3 right )} + log{left (-1 + i right )}right)$$
$$x_{4} = frac{1}{log{left (2 right )}} left(- frac{1}{2} log{left (2 right )} + frac{1}{4} log{left (3 right )} + log{left (1 – i right )}right)$$
$$x_{5} = frac{1}{log{left (2 right )}} left(- frac{1}{2} log{left (2 right )} + frac{1}{4} log{left (3 right )} + log{left (1 + i right )}right)$$
$$x_{6} = – frac{1}{4} – frac{i pi}{2 log{left (2 right )}}$$
$$x_{7} = – frac{1}{4} + frac{i pi}{2 log{left (2 right )}}$$
$$x_{8} = – frac{1}{4} + frac{i pi}{log{left (2 right )}}$$
Исключаем комплексные решения:
$$x_{1} = – frac{1}{4}$$
Данные корни
$$x_{1} = – frac{1}{4}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$- frac{7}{20}$$
=
$$- frac{7}{20}$$
подставляем в выражение
$$frac{- 16^{x + 1} + 15}{4^{2 x} – 4} geq 2^{4 x + 1} – 3$$

4*(-7)
-7/20 + 1 —— + 1
15 – 16 20
—————- >= 2 – 3
1
/ 2*(-7)
| —— |
| 20 |
4 – 4/

3/5
15 – 4*2 3/5
———– 2
3/5 >= -3 + —-
2 2
-4 + —-
4

но

3/5
15 – 4*2 3/5
———– 2
3/5 < -3 + ---- 2 2 -4 + ---- 4

Тогда
$$x leq – frac{1}{4}$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x geq – frac{1}{4}$$

_____
/
——-•——-
x1

$$- frac{1}{4} leq x wedge x < frac{1}{2}$$

[-1/4, 1/2)

$$x in left[- frac{1}{4}, frac{1}{2}right)$$