28/5+sqrt(784/25-31*x/10)>123/20-sqrt(184/5-x/5)

$$sqrt{- frac{31 x}{10} + frac{784}{25}} + frac{28}{5} > – sqrt{- frac{x}{5} + frac{184}{5}} + frac{123}{20}$$

Дано неравенство:
$$sqrt{- frac{31 x}{10} + frac{784}{25}} + frac{28}{5} > – sqrt{- frac{x}{5} + frac{184}{5}} + frac{123}{20}$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$sqrt{- frac{31 x}{10} + frac{784}{25}} + frac{28}{5} = – sqrt{- frac{x}{5} + frac{184}{5}} + frac{123}{20}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$sqrt{- frac{31 x}{10} + frac{784}{25}} + frac{28}{5} = – sqrt{- frac{x}{5} + frac{184}{5}} + frac{123}{20}$$
преобразуем:
$$sqrt{- frac{31 x}{10} + frac{784}{25}} + sqrt{- frac{x}{5} + frac{184}{5}} = frac{11}{20}$$
Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
$$left(sqrt{- frac{31 x}{10} + frac{784}{25}} + sqrt{- frac{x}{5} + frac{184}{5}}right)^{2} = frac{121}{400}$$
или
$$1^{2} left(- frac{x}{5} + frac{184}{5}right) + 2 sqrt{left(- frac{31 x}{10} + frac{784}{25}right) left(- frac{x}{5} + frac{184}{5}right)} + 1^{2} left(- frac{31 x}{10} + frac{784}{25}right) = frac{121}{400}$$
или
$$- frac{33 x}{10} + 2 sqrt{frac{31 x^{2}}{50} – frac{15044 x}{125} + frac{144256}{125}} + frac{1704}{25} = frac{121}{400}$$
преобразуем:
$$2 sqrt{frac{31 x^{2}}{50} – frac{15044 x}{125} + frac{144256}{125}} = frac{33 x}{10} – frac{27143}{400}$$
Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
$$frac{62 x^{2}}{25} – frac{60176 x}{125} + frac{577024}{125} = left(frac{33 x}{10} – frac{27143}{400}right)^{2}$$
$$frac{62 x^{2}}{25} – frac{60176 x}{125} + frac{577024}{125} = frac{1089 x^{2}}{100} – frac{895719 x}{2000} + frac{736742449}{160000}$$
Перенесём правую часть уравнения левую часть уравнения со знаком минус
$$- frac{841 x^{2}}{100} – frac{67097 x}{2000} + frac{1848271}{160000} = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$x_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = – frac{841}{100}$$
$$b = – frac{67097}{2000}$$
$$c = frac{1848271}{160000}$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(-67097/2000)^2 – 4 * (-841/100) * (1848271/160000) = 151410083/100000

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = – frac{11 sqrt{12513230}}{16820} – frac{67097}{33640}$$
$$x_{2} = – frac{67097}{33640} + frac{11 sqrt{12513230}}{16820}$$

Т.к.
$$sqrt{frac{31 x^{2}}{50} – frac{15044 x}{125} + frac{144256}{125}} = frac{33 x}{20} – frac{27143}{800}$$
и
$$sqrt{frac{31 x^{2}}{50} – frac{15044 x}{125} + frac{144256}{125}} geq 0$$
то
$$frac{33 x}{20} – frac{27143}{800} geq 0$$
или
$$frac{27143}{1320} leq x$$
$$x < infty$$
Тогда, окончательный ответ:
Данное ур-ние не имеет решений
Данное ур-ние не имеет решений,
значит данное неравенство выполняется всегда или не выполняется никогда
проверим
подставляем произвольную точку, например

x0 = 0

____________ __________
28 / 784 31*0 123 / 184 0
— + / — – —- > — – / — – —
5 / 25 1 20 / 5 1
/ 10 / 5

_____
123 2*/ 230
56/5 > — – ———
20 5

зн. неравенство выполняется всегда

$$left(x leq frac{1568}{155} wedge – frac{67097}{33640} + frac{11 sqrt{12513230}}{16820} < xright) vee left(-infty < x wedge x < - frac{11 sqrt{12513230}}{16820} - frac{67097}{33640}right) vee left(x < - frac{67097}{33640} + frac{11 sqrt{12513230}}{16820} wedge - frac{11 sqrt{12513230}}{16820} - frac{67097}{33640} < xright)$$

__________ __________ __________ __________
67097 11*/ 12513230 67097 11*/ 12513230 67097 11*/ 12513230 67097 11*/ 12513230 1568
(-oo, – —– – —————) U (- —– – —————, – —– + —————) U (- —– + —————, —-]
33640 16820 33640 16820 33640 16820 33640 16820 155

$$x in left(-infty, – frac{11 sqrt{12513230}}{16820} – frac{67097}{33640}right) cup left(- frac{11 sqrt{12513230}}{16820} – frac{67097}{33640}, – frac{67097}{33640} + frac{11 sqrt{12513230}}{16820}right) cup left(- frac{67097}{33640} + frac{11 sqrt{12513230}}{16820}, frac{1568}{155}right]$$