2*sin(3*x)

$$2 sin{left (3 x right )} < -1$$

Дано неравенство:
$$2 sin{left (3 x right )} < -1$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$2 sin{left (3 x right )} = -1$$
Решаем:
Дано уравнение
$$2 sin{left (3 x right )} = -1$$
– это простейшее тригонометрическое ур-ние

Разделим обе части ур-ния на 2

Ур-ние превратится в
$$sin{left (3 x right )} = – frac{1}{2}$$
Это ур-ние преобразуется в
$$3 x = 2 pi n + {asin}{left (- frac{1}{2} right )}$$
$$3 x = 2 pi n – {asin}{left (- frac{1}{2} right )} + pi$$
Или
$$3 x = 2 pi n – frac{pi}{6}$$
$$3 x = 2 pi n + frac{7 pi}{6}$$
, где n – любое целое число
Разделим обе части полученного ур-ния на
$$3$$
$$x_{1} = frac{2 pi}{3} n – frac{pi}{18}$$
$$x_{2} = frac{2 pi}{3} n + frac{7 pi}{18}$$
$$x_{1} = frac{2 pi}{3} n – frac{pi}{18}$$
$$x_{2} = frac{2 pi}{3} n + frac{7 pi}{18}$$
Данные корни
$$x_{1} = frac{2 pi}{3} n – frac{pi}{18}$$
$$x_{2} = frac{2 pi}{3} n + frac{7 pi}{18}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=

pi 2*pi*n 1
– — + —— – —
18 3 10

=
$$frac{2 pi}{3} n – frac{pi}{18} – frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$2 sin{left (3 x right )} < -1$$

/ / pi 2*pi*n 1
2*sin|3*|- — + —— – –|| < -1 18 3 10//

/3 pi
-2*sin|– + — – 2*pi*n| < -1 10 6 /

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < frac{2 pi}{3} n - frac{pi}{18}$$

_____ _____
/
——-ο——-ο——-
x1 x2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < frac{2 pi}{3} n - frac{pi}{18}$$
$$x > frac{2 pi}{3} n + frac{7 pi}{18}$$

/ -pi
And|-oo < x, x < ----| 18 /

$$-infty < x wedge x < - frac{pi}{18}$$

-pi
(-oo, —-)
18

$$x in left(-infty, – frac{pi}{18}right)$$