(5^(2*x+1)-75*(1/5)^(2*x)-10)*1/(x+2)

$$frac{1}{x + 2} left(5^{2 x + 1} – 75 cdot 5^{- 2 x} – 10right) leq 0$$

Дано неравенство:
$$frac{1}{x + 2} left(5^{2 x + 1} – 75 cdot 5^{- 2 x} – 10right) leq 0$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{1}{x + 2} left(5^{2 x + 1} – 75 cdot 5^{- 2 x} – 10right) = 0$$
Решаем:
$$x_{1} = frac{log{left (sqrt{5} right )} + i pi}{log{left (5 right )}}$$
$$x_{2} = frac{log{left (sqrt{5} right )}}{log{left (5 right )}}$$
$$x_{3} = frac{log{left (- sqrt{3} i right )}}{log{left (5 right )}}$$
$$x_{4} = frac{log{left (sqrt{3} i right )}}{log{left (5 right )}}$$
Исключаем комплексные решения:
$$x_{1} = frac{log{left (sqrt{5} right )}}{log{left (5 right )}}$$
Данные корни
$$x_{1} = frac{log{left (sqrt{5} right )}}{log{left (5 right )}}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$- frac{1}{10} + frac{log{left (sqrt{5} right )}}{log{left (5 right )}}$$
=
$$- frac{1}{10} + frac{log{left (sqrt{5} right )}}{log{left (5 right )}}$$
подставляем в выражение
$$frac{1}{x + 2} left(5^{2 x + 1} – 75 cdot 5^{- 2 x} – 10right) leq 0$$

/ / ___ / / ___
|log/ 5 / 1 | |log/ 5 / 1 |
2*|———- – –| + 1 -2*|———- – –|
| 1 10| | 1 10|
log (5) / log (5) /
5 – 75*5 – 10
——————————————————– <= 0 1 / / ___ |log/ 5 / 1 | |---------- - -- + 2| | 1 10 | log (5) /

/ ___ / ___
4 2*log/ 5 / 1 2*log/ 5 /
– + ———— – – ————
5 log(5) 5 log(5)
-10 + 5 – 75*5
———————————————- <= 0 / ___ 19 log/ 5 / -- + ---------- 10 log(5)

значит решение неравенства будет при:
$$x leq frac{log{left (sqrt{5} right )}}{log{left (5 right )}}$$

_____
——-•——-
x1

$$x leq frac{log{left (sqrt{5} right )}}{log{left (5 right )}} wedge -2 < x$$

(-2, 1/2]

$$x in left(-2, frac{1}{2}right]$$