cos(x)>=-1/2

$$cos{left (x right )} geq – frac{1}{2}$$

Дано неравенство:
$$cos{left (x right )} geq – frac{1}{2}$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$cos{left (x right )} = – frac{1}{2}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$cos{left (x right )} = – frac{1}{2}$$
– это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = pi n + {acos}{left (- frac{1}{2} right )}$$
$$x = pi n – pi + {acos}{left (- frac{1}{2} right )}$$
Или
$$x = pi n + frac{2 pi}{3}$$
$$x = pi n – frac{pi}{3}$$
, где n – любое целое число
$$x_{1} = pi n + frac{2 pi}{3}$$
$$x_{2} = pi n – frac{pi}{3}$$
$$x_{1} = pi n + frac{2 pi}{3}$$
$$x_{2} = pi n – frac{pi}{3}$$
Данные корни
$$x_{1} = pi n + frac{2 pi}{3}$$
$$x_{2} = pi n – frac{pi}{3}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$pi n + frac{2 pi}{3} + – frac{1}{10}$$
=
$$pi n – frac{1}{10} + frac{2 pi}{3}$$
подставляем в выражение
$$cos{left (x right )} geq – frac{1}{2}$$
$$cos{left (pi n + frac{2 pi}{3} + – frac{1}{10} right )} geq – frac{1}{2}$$

/ 1 pi
-sin|- — + — + pi*n| >= -1/2
10 6 /

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x leq pi n + frac{2 pi}{3}$$

_____ _____
/
——-•——-•——-
x1 x2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x leq pi n + frac{2 pi}{3}$$
$$x geq pi n – frac{pi}{3}$$

/ / 2*pi /4*pi
Or|And|x <= ----, -oo < x|, And|---- <= x, x < oo|| 3 / 3 //

$$left(x leq frac{2 pi}{3} wedge -infty < xright) vee left(frac{4 pi}{3} leq x wedge x < inftyright)$$

2*pi 4*pi
(-oo, —-] U [—-, oo)
3 3

$$x in left(-infty, frac{2 pi}{3}right] cup left[frac{4 pi}{3}, inftyright)$$