log(1/2)*1/log(x)+sqrt(1+4*(log(1/2)*1/log(x))^2)

$$sqrt{4 left(frac{log{left (frac{1}{2} right )}}{log{left (x right )}}right)^{2} + 1} + frac{log{left (frac{1}{2} right )}}{log{left (x right )}} leq 1$$

Дано неравенство:
$$sqrt{4 left(frac{log{left (frac{1}{2} right )}}{log{left (x right )}}right)^{2} + 1} + frac{log{left (frac{1}{2} right )}}{log{left (x right )}} leq 1$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$sqrt{4 left(frac{log{left (frac{1}{2} right )}}{log{left (x right )}}right)^{2} + 1} + frac{log{left (frac{1}{2} right )}}{log{left (x right )}} = 1$$
Решаем:
$$x_{1} = 2 sqrt{2}$$
$$x_{1} = 2 sqrt{2}$$
Данные корни
$$x_{1} = 2 sqrt{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$- frac{1}{10} + 2 sqrt{2}$$
=
$$- frac{1}{10} + 2 sqrt{2}$$
подставляем в выражение
$$sqrt{4 left(frac{log{left (frac{1}{2} right )}}{log{left (x right )}}right)^{2} + 1} + frac{log{left (frac{1}{2} right )}}{log{left (x right )}} leq 1$$
$$frac{log{left (frac{1}{2} right )}}{log{left (- frac{1}{10} + 2 sqrt{2} right )}} + sqrt{1 + 4 left(frac{log{left (frac{1}{2} right )}}{log{left (- frac{1}{10} + 2 sqrt{2} right )}}right)^{2}} leq 1$$

__________________________
/ 2
/ 4*log (2) log(2)
/ 1 + ——————– – ——————- <= 1 / 2/ 1 ___ / 1 ___ / log |- -- + 2*/ 2 | log|- -- + 2*/ 2 | / 10 / 10 /

но

__________________________
/ 2
/ 4*log (2) log(2)
/ 1 + ——————– – ——————- >= 1
/ 2/ 1 ___ / 1 ___
/ log |- — + 2*/ 2 | log|- — + 2*/ 2 |
/ 10 / 10 /

Тогда
$$x leq 2 sqrt{2}$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x geq 2 sqrt{2}$$

_____
/
——-•——-
x1

$$2 sqrt{2} leq x wedge x < infty$$

___
[2*/ 2 , oo)

$$x in left[2 sqrt{2}, inftyright)$$