log(2*4^x-15*2^x+23)*1/log(x^2+1)*1/(4^x-9*2^x+14)>=0

$$frac{log{left (- 15 cdot 2^{x} + 2 cdot 4^{x} + 23 right )}}{- 9 cdot 2^{x} + 4^{x} + 14} frac{1}{log{left (x^{2} + 1 right )}} geq 0$$

Дано неравенство:
$$frac{log{left (- 15 cdot 2^{x} + 2 cdot 4^{x} + 23 right )}}{- 9 cdot 2^{x} + 4^{x} + 14} frac{1}{log{left (x^{2} + 1 right )}} geq 0$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{log{left (- 15 cdot 2^{x} + 2 cdot 4^{x} + 23 right )}}{- 9 cdot 2^{x} + 4^{x} + 14} frac{1}{log{left (x^{2} + 1 right )}} = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$frac{log{left (- 15 cdot 2^{x} + 2 cdot 4^{x} + 23 right )}}{- 9 cdot 2^{x} + 4^{x} + 14} frac{1}{log{left (x^{2} + 1 right )}} = 0$$
преобразуем
$$frac{log{left (- 15 cdot 2^{x} + 2 cdot 4^{x} + 23 right )}}{- 2^{x} log{left (left(x^{2} + 1right)^{9} right )} + 4^{x} log{left (x^{2} + 1 right )} + log{left (left(x^{2} + 1right)^{14} right )}} = 0$$
$$frac{log{left (- 15 cdot 2^{x} + 2 cdot 4^{x} + 23 right )}}{- 2^{x} log{left (left(x^{2} + 1right)^{9} right )} + 4^{x} log{left (x^{2} + 1 right )} + log{left (left(x^{2} + 1right)^{14} right )}} = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (left(x^{2} + 1right)^{9} right )}$$
Дано уравнение:
$$frac{log{left (- 15 cdot 2^{x} + 2 cdot 4^{x} + 23 right )}}{- 2^{x} w + 4^{x} log{left (x^{2} + 1 right )} + log{left (left(x^{2} + 1right)^{14} right )}} = 0$$
Домножим обе части ур-ния на знаменатель 4^x*log(1 + x^2) – w*2^x + log((1 + x^2)^14)
получим:
$$log{left (- 15 cdot 2^{x} + 2 cdot 4^{x} + 23 right )} = 0$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

log23+15*2+x+2*4+x = 0

Приводим подобные слагаемые в левой части ур-ния:

log(23 – 15*2^x + 2*4^x) = 0

Данное ур-ние не имеет решений
делаем обратную замену
$$log{left (left(x^{2} + 1right)^{9} right )} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = -1 + frac{log{left (11 right )}}{log{left (2 right )}}$$
$$x_{1} = -1 + frac{log{left (11 right )}}{log{left (2 right )}}$$
Данные корни
$$x_{1} = -1 + frac{log{left (11 right )}}{log{left (2 right )}}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$- frac{1}{10} + -1 + frac{log{left (11 right )}}{log{left (2 right )}}$$
=
$$- frac{11}{10} + frac{log{left (11 right )}}{log{left (2 right )}}$$
подставляем в выражение
$$frac{log{left (- 15 cdot 2^{x} + 2 cdot 4^{x} + 23 right )}}{- 9 cdot 2^{x} + 4^{x} + 14} frac{1}{log{left (x^{2} + 1 right )}} geq 0$$

/ / log(11) 1 log(11) 1
| | -1 + ——- – — -1 + ——- – — ||
| | 1 10 1 10 ||
| | log (2) log (2) ||
|log2*4 – 15*2 + 23/|
|——————————————————|
| / 2 |
| 1|/ log(11) 1 | |
| log ||-1 + ——- – –| + 1| |
| || 1 10| | |
log (2) / / /
——————————————————– >= 0
1
/ log(11) 1 log(11) 1
| -1 + ——- – — -1 + ——- – — |
| 1 10 1 10 |
| log (2) log (2) |
4 – 9*2 + 14/

/ 11 log(11) 11 log(11)
| – — + ——- – — + ——-|
| 10 log(2) 10 log(2)|
pi*I + log -23 – 2*4 + 15*2 /
———————————————————————
/ 11 log(11) 11 log(11) >= 0
| – — + ——- – — + ——-| / 2
| 10 log(2) 10 log(2)| | / 11 log(11) |
14 + 4 – 9*2 /*log|1 + |- — + ——-| |
10 log(2)/ /

Тогда
$$x leq -1 + frac{log{left (11 right )}}{log{left (2 right )}}$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x geq -1 + frac{log{left (11 right )}}{log{left (2 right )}}$$

_____
/
——-•——-
x1

/ / log(7) log(11)
Or|And(-oo < x, x < 0), And(0 < x, x < 1), And|x < oo, ------ < x|, x = -1 + -------| log(2) / log(2)/

$$left(-infty < x wedge x < 0right) vee left(0 < x wedge x < 1right) vee left(x < infty wedge frac{log{left (7 right )}}{log{left (2 right )}} < xright) vee x = -1 + frac{log{left (11 right )}}{log{left (2 right )}}$$

log(11) log(7)
(-oo, 0) U (0, 1) U {-1 + ——-} U (——, oo)
log(2) log(2)

$$x in left(-infty, 0right) cup left(0, 1right) cup left{-1 + frac{log{left (11 right )}}{log{left (2 right )}}right} cup left(frac{log{left (7 right )}}{log{left (2 right )}}, inftyright)$$