log(2*x^2+9*x+10)*(3*x^2+4*x+1)

$$left(3 x^{2} + 4 x + 1right) log{left (2 x^{2} + 9 x + 10 right )} leq 0$$

Дано неравенство:
$$left(3 x^{2} + 4 x + 1right) log{left (2 x^{2} + 9 x + 10 right )} leq 0$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$left(3 x^{2} + 4 x + 1right) log{left (2 x^{2} + 9 x + 10 right )} = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$left(3 x^{2} + 4 x + 1right) log{left (2 x^{2} + 9 x + 10 right )} = 0$$
преобразуем
$$left(3 x^{2} + 4 x + 1right) log{left (2 x^{2} + 9 x + 10 right )} = 0$$
$$left(3 x^{2} + 4 x + 1right) log{left (2 x^{2} + 9 x + 10 right )} = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (2 x^{2} + 9 x + 10 right )}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

w1+3*x+2+4*x = 0

Приводим подобные слагаемые в левой части ур-ния:

w*(1 + 3*x^2 + 4*x) = 0

Разделим обе части ур-ния на 1 + 3*x^2 + 4*x

w = 0 / (1 + 3*x^2 + 4*x)

Получим ответ: w = 0
делаем обратную замену
$$log{left (2 x^{2} + 9 x + 10 right )} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = – frac{3}{2}$$
$$x_{3} = -1$$
$$x_{4} = – frac{1}{3}$$
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = – frac{3}{2}$$
$$x_{3} = -1$$
$$x_{4} = – frac{1}{3}$$
Данные корни
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = – frac{3}{2}$$
$$x_{3} = -1$$
$$x_{4} = – frac{1}{3}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$- frac{31}{10}$$
=
$$- frac{31}{10}$$
подставляем в выражение
$$left(3 x^{2} + 4 x + 1right) log{left (2 x^{2} + 9 x + 10 right )} leq 0$$
$$left(1 + frac{-124}{10} 1 + 3 left(- frac{31}{10}right)^{2}right) log{left (frac{-279}{10} 1 + 2 left(- frac{31}{10}right)^{2} + 10 right )} leq 0$$

1743*log(25) 1743*log(33)
– ———— + ———— <= 0 100 100

но

1743*log(25) 1743*log(33)
– ———— + ———— >= 0
100 100

Тогда
$$x leq -3$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x geq -3 wedge x leq – frac{3}{2}$$

_____ _____
/ /
——-•——-•——-•——-•——-
x1 x2 x3 x4

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x geq -3 wedge x leq – frac{3}{2}$$
$$x geq -1 wedge x leq – frac{1}{3}$$

$$left(-1 leq x wedge x leq – frac{1}{3}right) vee x = -3 vee x = – frac{3}{2}$$

{-3, -3/2} U [-1, -1/3]

$$x in left{-3, – frac{3}{2}right} cup left[-1, – frac{1}{3}right]$$