log(3+2*sqrt(2))*(x+6)*1/log(3+2*sqrt(2))*(x-2)

$$frac{left(x + 6right) log{left (2 sqrt{2} + 3 right )}}{log{left (2 sqrt{2} + 3 right )}} left(x – 2right) < 0$$

Дано неравенство:
$$frac{left(x + 6right) log{left (2 sqrt{2} + 3 right )}}{log{left (2 sqrt{2} + 3 right )}} left(x – 2right) < 0$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{left(x + 6right) log{left (2 sqrt{2} + 3 right )}}{log{left (2 sqrt{2} + 3 right )}} left(x – 2right) = 0$$
Решаем:
Раскроем выражение в уравнении
$$frac{left(x + 6right) log{left (2 sqrt{2} + 3 right )}}{log{left (2 sqrt{2} + 3 right )}} left(x – 2right) = 0$$
Получаем квадратное уравнение
$$x^{2} + 4 x – 12 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$x_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 4$$
$$c = -12$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(4)^2 – 4 * (1) * (-12) = 64

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = -6$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = -6$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = -6$$
Данные корни
$$x_{2} = -6$$
$$x_{1} = 2$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} – frac{1}{10}$$
=
$$- frac{61}{10}$$
=
$$- frac{61}{10}$$
подставляем в выражение
$$frac{left(x + 6right) log{left (2 sqrt{2} + 3 right )}}{log{left (2 sqrt{2} + 3 right )}} left(x – 2right) < 0$$
$$frac{left(- frac{61}{10} + 6right) log{left (2 sqrt{2} + 3 right )}}{log{left (2 sqrt{2} + 3 right )}} left(- frac{61}{10} – 2right) < 0$$

81
— < 0 100

но

81
— > 0
100

Тогда
$$x < -6$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > -6 wedge x < 2$$

_____
/
——-ο——-ο——-
x2 x1

$$-6 < x wedge x < 2$$

(-6, 2)

$$x in left(-6, 2right)$$