log(4)*1/log(64*x)*log(8*x)*1/log(1/2)

$$frac{log{left (8 x right )}}{log{left (frac{1}{2} right )}} log{left (4 right )} frac{1}{log{left (64 x right )}} leq 3$$

Дано неравенство:
$$frac{log{left (8 x right )}}{log{left (frac{1}{2} right )}} log{left (4 right )} frac{1}{log{left (64 x right )}} leq 3$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{log{left (8 x right )}}{log{left (frac{1}{2} right )}} log{left (4 right )} frac{1}{log{left (64 x right )}} = 3$$
Решаем:
Дано уравнение
$$frac{log{left (8 x right )}}{log{left (frac{1}{2} right )}} log{left (4 right )} frac{1}{log{left (64 x right )}} = 3$$
преобразуем
$$- frac{5 log{left (x right )} + log{left (16777216 right )}}{log{left (x right )} + log{left (64 right )}} = 0$$
$$frac{1}{log{left (2 right )} log{left (64 x right )}} left(- log{left (4 right )} log{left (8 x right )} – log{left (8 right )} log{left (64 x right )}right) = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (64 x right )}$$
Дано уравнение:
$$frac{1}{w log{left (2 right )}} left(- w log{left (8 right )} – log{left (4 right )} log{left (8 x right )}right) = 0$$
Домножим обе части ур-ния на знаменатель w*log(2)
получим:
$$- left(3 w + 2 log{left (x right )} + log{left (64 right )}right) log{left (2 right )} = 0$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

-2*log-x + 3*w + log64)*log2 = 0

Приводим подобные слагаемые в левой части ур-ния:

-(2*log(x) + 3*w + log(64))*log(2) = 0

Разделим обе части ур-ния на -(2*log(x) + 3*w + log(64))*log(2)/w

w = 0 / (-(2*log(x) + 3*w + log(64))*log(2)/w)

Получим ответ: w = -2*log(x)/3 – log(64)/3
делаем обратную замену
$$log{left (64 x right )} = w$$
Дано уравнение
$$log{left (64 x right )} = w$$
$$log{left (64 x right )} = w$$
Это уравнение вида:

log(v)=p

По определению log

v=e^p

тогда

w
–
1
64*x = e

упрощаем
$$64 x = e^{w}$$
$$x = frac{e^{w}}{64}$$
подставляем w:
$$x_{1} = frac{sqrt[5]{2}}{32}$$
$$x_{1} = frac{sqrt[5]{2}}{32}$$
Данные корни
$$x_{1} = frac{sqrt[5]{2}}{32}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$- frac{1}{10} + frac{sqrt[5]{2}}{32}$$
=
$$- frac{1}{10} + frac{sqrt[5]{2}}{32}$$
подставляем в выражение
$$frac{log{left (8 x right )}}{log{left (frac{1}{2} right )}} log{left (4 right )} frac{1}{log{left (64 x right )}} leq 3$$
$$frac{log{left (8 left(- frac{1}{10} + frac{sqrt[5]{2}}{32}right) right )}}{log{left (frac{1}{2} right )}} log{left (4 right )} frac{1}{log{left (64 left(- frac{1}{10} + frac{sqrt[5]{2}}{32}right) right )}} leq 3$$

/ / 5 ___
| |4 / 2 ||
-|pi*I + log|- – —–||*log(4)
5 4 //
——————————— <= 3 / /32 5 ___ |pi*I + log|-- - 2*/ 2 ||*log(2) 5 //

Тогда
$$x leq frac{sqrt[5]{2}}{32}$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x geq frac{sqrt[5]{2}}{32}$$

_____
/
——-•——-
x1

$$left(-infty < x wedge x < frac{1}{64}right) vee left(frac{sqrt[5]{2}}{32} leq x wedge x < inftyright)$$

5 ___
/ 2
(-oo, 1/64) U [—–, oo)
32

$$x in left(-infty, frac{1}{64}right) cup left[frac{sqrt[5]{2}}{32}, inftyright)$$