log(4)*1/log(64*x)*log(8*x)*1/log((1/2)^2)

$$frac{log{left (8 x right )}}{log{left (left(frac{1}{2}right)^{2} right )}} log{left (4 right )} frac{1}{log{left (64 x right )}} leq 3$$

Дано неравенство:
$$frac{log{left (8 x right )}}{log{left (left(frac{1}{2}right)^{2} right )}} log{left (4 right )} frac{1}{log{left (64 x right )}} leq 3$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{log{left (8 x right )}}{log{left (left(frac{1}{2}right)^{2} right )}} log{left (4 right )} frac{1}{log{left (64 x right )}} = 3$$
Решаем:
Дано уравнение
$$frac{log{left (8 x right )}}{log{left (left(frac{1}{2}right)^{2} right )}} log{left (4 right )} frac{1}{log{left (64 x right )}} = 3$$
преобразуем
$$- frac{4 log{left (x right )} + log{left (2097152 right )}}{log{left (x right )} + log{left (64 right )}} = 0$$
$$frac{- log{left (x right )} – log{left (8 right )}}{log{left (x right )} + log{left (64 right )}} – 3 = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (x right )}$$
Дано уравнение:
$$frac{- w – log{left (8 right )}}{w + log{left (64 right )}} – 3 = 0$$
Домножим обе части ур-ния на знаменатель w + log(64)
получим:
$$- 4 w – log{left (2097152 right )} = 0$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

-log2097152 – 4*w = 0

Разделим обе части ур-ния на (-log(2097152) – 4*w)/w

w = 0 / ((-log(2097152) – 4*w)/w)

Получим ответ: w = -21*log(2)/4
делаем обратную замену
$$log{left (x right )} = w$$
Дано уравнение
$$log{left (x right )} = w$$
$$log{left (x right )} = w$$
Это уравнение вида:

log(v)=p

По определению log

v=e^p

тогда

w
–
1
x = e

упрощаем
$$x = e^{w}$$
подставляем w:
$$x_{1} = frac{2^{frac{3}{4}}}{64}$$
$$x_{1} = frac{2^{frac{3}{4}}}{64}$$
Данные корни
$$x_{1} = frac{2^{frac{3}{4}}}{64}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$- frac{1}{10} + frac{2^{frac{3}{4}}}{64}$$
=
$$- frac{1}{10} + frac{2^{frac{3}{4}}}{64}$$
подставляем в выражение
$$frac{log{left (8 x right )}}{log{left (left(frac{1}{2}right)^{2} right )}} log{left (4 right )} frac{1}{log{left (64 x right )}} leq 3$$
$$frac{log{left (8 left(- frac{1}{10} + frac{2^{frac{3}{4}}}{64}right) right )}}{log{left (left(frac{1}{2}right)^{2} right )}} log{left (4 right )} frac{1}{log{left (64 left(- frac{1}{10} + frac{2^{frac{3}{4}}}{64}right) right )}} leq 3$$

/ / 3/4
| |4 2 ||
-|pi*I + log|- – —-||
5 8 //
———————— <= 3 /32 3/4 pi*I + log|-- - 2 | 5 /

Тогда
$$x leq frac{2^{frac{3}{4}}}{64}$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x geq frac{2^{frac{3}{4}}}{64}$$

_____
/
——-•——-
x1

$$left(-infty < x wedge x < frac{1}{64}right) vee left(frac{2^{frac{3}{4}}}{64} leq x wedge x < inftyright)$$

3/4
2
(-oo, 1/64) U [—-, oo)
64

$$x in left(-infty, frac{1}{64}right) cup left[frac{2^{frac{3}{4}}}{64}, inftyright)$$