log(4)*x^2+log(2)^2*(-x)>6

$$- x log^{2}{left (2 right )} + x^{2} log{left (4 right )} > 6$$

Дано неравенство:
$$- x log^{2}{left (2 right )} + x^{2} log{left (4 right )} > 6$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$- x log^{2}{left (2 right )} + x^{2} log{left (4 right )} = 6$$
Решаем:
Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.

Уравнение превратится из
$$- x log^{2}{left (2 right )} + x^{2} log{left (4 right )} = 6$$
в
$$- x log^{2}{left (2 right )} + x^{2} log{left (4 right )} – 6 = 0$$
Раскроем выражение в уравнении
$$- x log^{2}{left (2 right )} + x^{2} log{left (4 right )} – 6 = 0$$
Получаем квадратное уравнение
$$- x log^{2}{left (2 right )} + 2 x^{2} log{left (2 right )} – 6 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$x_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = 2 log{left (2 right )}$$
$$b = – log^{2}{left (2 right )}$$
$$c = -6$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(-log(2)^2)^2 – 4 * (2*log(2)) * (-6) = log(2)^4 + 48*log(2)

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = frac{1}{4 log{left (2 right )}} left(log^{2}{left (2 right )} + sqrt{log^{4}{left (2 right )} + 48 log{left (2 right )}}right)$$
$$x_{2} = frac{1}{4 log{left (2 right )}} left(- sqrt{log^{4}{left (2 right )} + 48 log{left (2 right )}} + log^{2}{left (2 right )}right)$$
$$x_{1} = frac{1}{4 log{left (2 right )}} left(log^{2}{left (2 right )} + sqrt{log^{4}{left (2 right )} + 48 log{left (2 right )}}right)$$
$$x_{2} = frac{1}{4 log{left (2 right )}} left(- sqrt{log^{4}{left (2 right )} + 48 log{left (2 right )}} + log^{2}{left (2 right )}right)$$
$$x_{1} = frac{1}{4 log{left (2 right )}} left(log^{2}{left (2 right )} + sqrt{log^{4}{left (2 right )} + 48 log{left (2 right )}}right)$$
$$x_{2} = frac{1}{4 log{left (2 right )}} left(- sqrt{log^{4}{left (2 right )} + 48 log{left (2 right )}} + log^{2}{left (2 right )}right)$$
Данные корни
$$x_{2} = frac{1}{4 log{left (2 right )}} left(- sqrt{log^{4}{left (2 right )} + 48 log{left (2 right )}} + log^{2}{left (2 right )}right)$$
$$x_{1} = frac{1}{4 log{left (2 right )}} left(log^{2}{left (2 right )} + sqrt{log^{4}{left (2 right )} + 48 log{left (2 right )}}right)$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} – frac{1}{10}$$
=

_____________________
2 / 4
log (2) – / log (2) + 48*log(2) 1
———————————- – —
1 10
4*log (2)

=
$$frac{1}{4 log{left (2 right )}} left(- sqrt{log^{4}{left (2 right )} + 48 log{left (2 right )}} + log^{2}{left (2 right )}right) – frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$- x log^{2}{left (2 right )} + x^{2} log{left (4 right )} > 6$$

2
/ _____________________ / / _____________________
| 2 / 4 | | | 2 / 4 ||
|log (2) – / log (2) + 48*log(2) 1 | 2 | |log (2) – / log (2) + 48*log(2) 1 ||
log(4)*|———————————- – –| + log (2)*|-|———————————- – –|| > 6
| 1 10| | | 1 10||
4*log (2) / 4*log (2) //

2
/ _____________________ / _____________________
| 2 / 4 | | 2 / 4 |
| 1 log (2) – / log (2) + 48*log(2) | 2 |1 log (2) – / log (2) + 48*log(2) | > 6
|- — + ———————————-| *log(4) + log (2)*|– – ———————————-|
10 4*log(2) / 10 4*log(2) /

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < frac{1}{4 log{left (2 right )}} left(- sqrt{log^{4}{left (2 right )} + 48 log{left (2 right )}} + log^{2}{left (2 right )}right)$$

_____ _____
/
——-ο——-ο——-
x2 x1

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < frac{1}{4 log{left (2 right )}} left(- sqrt{log^{4}{left (2 right )} + 48 log{left (2 right )}} + log^{2}{left (2 right )}right)$$
$$x > frac{1}{4 log{left (2 right )}} left(log^{2}{left (2 right )} + sqrt{log^{4}{left (2 right )} + 48 log{left (2 right )}}right)$$

/ / ______________ / ______________
| | / 3 | | / 3 ||
| | log(2) / 48 + log (2) | | log(2) / 48 + log (2) ||
Or|And|-oo < x, x < ------ - -----------------|, And|x < oo, ------ + ----------------- < x|| | | 4 ________ | | 4 ________ || 4*/ log(2) / 4*/ log(2) //

$$left(-infty < x wedge x < - frac{sqrt{log^{3}{left (2 right )} + 48}}{4 sqrt{log{left (2 right )}}} + frac{1}{4} log{left (2 right )}right) vee left(x < infty wedge frac{1}{4} log{left (2 right )} + frac{sqrt{log^{3}{left (2 right )} + 48}}{4 sqrt{log{left (2 right )}}} < xright)$$

______________ ______________
/ 3 / 3
log(2) / 48 + log (2) log(2) / 48 + log (2)
(-oo, —— – —————–) U (—— + —————–, oo)
4 ________ 4 ________
4*/ log(2) 4*/ log(2)

$$x in left(-infty, – frac{sqrt{log^{3}{left (2 right )} + 48}}{4 sqrt{log{left (2 right )}}} + frac{1}{4} log{left (2 right )}right) cup left(frac{1}{4} log{left (2 right )} + frac{sqrt{log^{3}{left (2 right )} + 48}}{4 sqrt{log{left (2 right )}}}, inftyright)$$