log(6)*1/log(7*x-4)>=log(6)*1/log(9*x^2-2*x-2)

$$frac{log{left (6 right )}}{log{left (7 x – 4 right )}} geq frac{log{left (6 right )}}{log{left (9 x^{2} – 2 x – 2 right )}}$$

Дано неравенство:
$$frac{log{left (6 right )}}{log{left (7 x – 4 right )}} geq frac{log{left (6 right )}}{log{left (9 x^{2} – 2 x – 2 right )}}$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{log{left (6 right )}}{log{left (7 x – 4 right )}} = frac{log{left (6 right )}}{log{left (9 x^{2} – 2 x – 2 right )}}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$frac{log{left (6 right )}}{log{left (7 x – 4 right )}} = frac{log{left (6 right )}}{log{left (9 x^{2} – 2 x – 2 right )}}$$
преобразуем
$$- frac{log{left (6 right )}}{log{left (9 x^{2} – 2 x – 2 right )}} + frac{log{left (6 right )}}{log{left (7 x – 4 right )}} = 0$$
$$- frac{log{left (6 right )}}{log{left (9 x^{2} – 2 x – 2 right )}} + frac{log{left (6 right )}}{log{left (7 x – 4 right )}} = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (9 x^{2} – 2 x – 2 right )}$$
Дано уравнение:
$$- frac{log{left (6 right )}}{log{left (9 x^{2} – 2 x – 2 right )}} + frac{log{left (6 right )}}{log{left (7 x – 4 right )}} = 0$$
Используем правило пропорций:
Из a1/b1 = a2/b2 следует a1*b2 = a2*b1,
В нашем случае

a1 = log(6)

b1 = log(-4 + 7*x)

a2 = log(6)

b2 = log(-2 – 2*x + 9*x^2)

зн. получим ур-ние
$$log{left (6 right )} log{left (9 x^{2} – 2 x – 2 right )} = log{left (6 right )} log{left (7 x – 4 right )}$$
$$log{left (6 right )} log{left (9 x^{2} – 2 x – 2 right )} = log{left (6 right )} log{left (7 x – 4 right )}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

log6log-2+2*x+9*x+2 = log(6)*log(-4 + 7*x)

Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

log6log-2+2*x+9*x+2 = log6log-4+7*x

Приводим подобные слагаемые в левой части ур-ния:

log(6)*log(-2 – 2*x + 9*x^2) = log6log-4+7*x

Переносим свободные слагаемые (без w)
из левой части в правую, получим:

/ 2
2 + log(6)*log -2 – 2*x + 9*x / = 2 + log(6)*log(-4 + 7*x)

Данное ур-ние не имеет решений
делаем обратную замену
$$log{left (9 x^{2} – 2 x – 2 right )} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = frac{1}{3}$$
$$x_{2} = frac{2}{3}$$
$$x_{1} = frac{1}{3}$$
$$x_{2} = frac{2}{3}$$
Данные корни
$$x_{1} = frac{1}{3}$$
$$x_{2} = frac{2}{3}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$frac{7}{30}$$
=
$$frac{7}{30}$$
подставляем в выражение
$$frac{log{left (6 right )}}{log{left (7 x – 4 right )}} geq frac{log{left (6 right )}}{log{left (9 x^{2} – 2 x – 2 right )}}$$

log(6) log(6)
————- >= ———————–
1/7*7 1/ 2 2*7
log |— – 4| log |9*7/30 – — – 2|
30 / 30 /

log(6) log(6)
————————- >= —————————
-log(30) + pi*I + log(71) -log(300) + pi*I + log(593)

Тогда
$$x leq frac{1}{3}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x geq frac{1}{3} wedge x leq frac{2}{3}$$

_____
/
——-•——-•——-
x1 x2

$$left(frac{2}{3} leq x wedge x < frac{1}{9} + frac{2 sqrt{7}}{9}right) vee left(frac{5}{7} < x wedge x < inftyright) vee x = frac{1}{3}$$

___
1 2*/ 7
{1/3} U [2/3, – + ——-) U (5/7, oo)
9 9

$$x in left{frac{1}{3}right} cup left[frac{2}{3}, frac{1}{9} + frac{2 sqrt{7}}{9}right) cup left(frac{5}{7}, inftyright)$$