log(6*x-x^2)*1/log(3/5)>log(-8-x)*1/log(3/5)

$$frac{log{left (- x^{2} + 6 x right )}}{log{left (frac{3}{5} right )}} > frac{log{left (- x – 8 right )}}{log{left (frac{3}{5} right )}}$$

Дано неравенство:
$$frac{log{left (- x^{2} + 6 x right )}}{log{left (frac{3}{5} right )}} > frac{log{left (- x – 8 right )}}{log{left (frac{3}{5} right )}}$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{log{left (- x^{2} + 6 x right )}}{log{left (frac{3}{5} right )}} = frac{log{left (- x – 8 right )}}{log{left (frac{3}{5} right )}}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$frac{log{left (- x^{2} + 6 x right )}}{log{left (frac{3}{5} right )}} = frac{log{left (- x – 8 right )}}{log{left (frac{3}{5} right )}}$$
преобразуем
$$frac{log{left (x left(- x + 6right) right )} – log{left (- x – 8 right )}}{- log{left (5 right )} + log{left (3 right )}} = 0$$
$$- frac{log{left (- x – 8 right )}}{log{left (frac{3}{5} right )}} + frac{log{left (- x^{2} + 6 x right )}}{log{left (frac{3}{5} right )}} = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (- x^{2} + 6 x right )}$$
Дано уравнение:
$$- frac{log{left (- x – 8 right )}}{log{left (frac{3}{5} right )}} + frac{log{left (- x^{2} + 6 x right )}}{log{left (frac{3}{5} right )}} = 0$$
Используем правило пропорций:
Из a1/b1 = a2/b2 следует a1*b2 = a2*b1,
В нашем случае

a1 = log(-x^2 + 6*x)

b1 = -log(5) + log(3)

a2 = log(-8 – x)

b2 = -log(5) + log(3)

зн. получим ур-ние
$$left(- log{left (5 right )} + log{left (3 right )}right) log{left (- x^{2} + 6 x right )} = left(- log{left (5 right )} + log{left (3 right )}right) log{left (- x – 8 right )}$$
$$left(- log{left (5 right )} + log{left (3 right )}right) log{left (- x^{2} + 6 x right )} = left(- log{left (5 right )} + log{left (3 right )}right) log{left (- x – 8 right )}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

-log+5 + log3)*log-x+2+6*x = (-log(5) + log(3))*log(-8 – x)

Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

-log+5 + log3)*log-x+2+6*x = -log+5 + log3)*log-8+x

Приводим подобные слагаемые в левой части ур-ния:

(-log(5) + log(3))*log(-x^2 + 6*x) = -log+5 + log3)*log-8+x

Приводим подобные слагаемые в правой части ур-ния:

(-log(5) + log(3))*log(-x^2 + 6*x) = (-log(5) + log(3))*log(-8 – x)

Данное ур-ние не имеет решений
делаем обратную замену
$$log{left (- x^{2} + 6 x right )} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 8$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 8$$
Данные корни
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 8$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$- frac{11}{10}$$
=
$$- frac{11}{10}$$
подставляем в выражение
$$frac{log{left (- x^{2} + 6 x right )}}{log{left (frac{3}{5} right )}} > frac{log{left (- x – 8 right )}}{log{left (frac{3}{5} right )}}$$

/ 2
|6*(-11) /-11 | / -11
log|——- – |—-| | log|-8 – —-|
10 10 / / 10 /
———————- > ————–
1 1
log (3/5) log (3/5)

-log(100) + pi*I + log(781) -log(10) + pi*I + log(69)
————————— > ————————-
-log(5) + log(3) -log(5) + log(3)

Тогда
$$x < -1$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > -1 wedge x < 8$$

_____
/
——-ο——-ο——-
x1 x2

Данное неравенство не имеет решений