log(7,x^2-2*x+8)

$$frac{log{left (7 right )}}{log{left (x^{2} – 2 x + 8 right )}} leq – x^{2} + 2 x$$

Дано неравенство:
$$frac{log{left (7 right )}}{log{left (x^{2} – 2 x + 8 right )}} leq – x^{2} + 2 x$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{log{left (7 right )}}{log{left (x^{2} – 2 x + 8 right )}} = – x^{2} + 2 x$$
Решаем:
Дано уравнение
$$frac{log{left (7 right )}}{log{left (x^{2} – 2 x + 8 right )}} = – x^{2} + 2 x$$
преобразуем
$$x^{2} – 2 x + frac{log{left (7 right )}}{log{left (x^{2} – 2 x + 8 right )}} = 0$$
$$- -1 x^{2} – 2 x + frac{log{left (7 right )}}{log{left (x^{2} – 2 x + 8 right )}} = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (x^{2} – 2 x + 8 right )}$$
Дано уравнение:
$$- -1 x^{2} – 2 x + frac{log{left (7 right )}}{log{left (x^{2} – 2 x + 8 right )}} = 0$$
Используем правило пропорций:
Из a1/b1 = a2/b2 следует a1*b2 = a2*b1,
В нашем случае

a1 = log(7)

b1 = log(8 + x^2 – 2*x)

a2 = 1

b2 = 1/(-x^2 + 2*x)

зн. получим ур-ние
$$frac{log{left (7 right )}}{- x^{2} + 2 x} = log{left (x^{2} – 2 x + 8 right )}$$
$$frac{log{left (7 right )}}{- x^{2} + 2 x} = log{left (x^{2} – 2 x + 8 right )}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

log7-x+2+2*x = log(8 + x^2 – 2*x)

Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

log7-x+2+2*x = log8+x+2+2*x

Приводим подобные слагаемые в левой части ур-ния:

log(7)/(-x^2 + 2*x) = log8+x+2+2*x

Приводим подобные слагаемые в правой части ур-ния:

log(7)/(-x^2 + 2*x) = log(8 + x^2 – 2*x)

Данное ур-ние не имеет решений
делаем обратную замену
$$log{left (x^{2} – 2 x + 8 right )} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = 1.00000058826$$
$$x_{2} = 0.999999591313$$
$$x_{1} = 1.00000058826$$
$$x_{2} = 0.999999591313$$
Данные корни
$$x_{2} = 0.999999591313$$
$$x_{1} = 1.00000058826$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} – frac{1}{10}$$
=
$$0.899999591313$$
=
$$0.899999591313$$
подставляем в выражение
$$frac{log{left (7 right )}}{log{left (x^{2} – 2 x + 8 right )}} leq – x^{2} + 2 x$$

log(7) 2
——————————————– <= - 0.899999591313 + 2*0.899999591313 1/ 2 log .899999591313 - 2*0.899999591313 + 8/

0.513521611313162*log(7) <= 0.989999918262433

но

0.513521611313162*log(7) >= 0.989999918262433

Тогда
$$x leq 0.999999591313$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x geq 0.999999591313 wedge x leq 1.00000058826$$

_____
/
——-•——-•——-
x2 x1