log(81^x+16^x-18*4^x+32)*1/log(3)>=4*x

$$frac{1}{log{left (3 right )}} log{left (- 18 cdot 4^{x} + 16^{x} + 81^{x} + 32 right )} geq 4 x$$

Дано неравенство:
$$frac{1}{log{left (3 right )}} log{left (- 18 cdot 4^{x} + 16^{x} + 81^{x} + 32 right )} geq 4 x$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{1}{log{left (3 right )}} log{left (- 18 cdot 4^{x} + 16^{x} + 81^{x} + 32 right )} = 4 x$$
Решаем:
Дано уравнение
$$frac{1}{log{left (3 right )}} log{left (- 18 cdot 4^{x} + 16^{x} + 81^{x} + 32 right )} = 4 x$$
преобразуем
$$frac{1}{log{left (3 right )}} left(- x log{left (81 right )} + log{left (16^{x} – 18 cdot 4^{x} + 81^{x} + 32 right )}right) = 0$$
$$frac{1}{log{left (3 right )}} left(- x log{left (81 right )} + log{left (16^{x} – 18 cdot 4^{x} + 81^{x} + 32 right )}right) = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (3 right )}$$
Дано уравнение:
$$frac{1}{w} left(- x log{left (81 right )} + log{left (16^{x} – 18 cdot 4^{x} + 81^{x} + 32 right )}right) = 0$$
Домножим обе части ур-ния на знаменатель w
получим:
$$- x log{left (81 right )} + log{left (16^{x} – 18 cdot 4^{x} + 81^{x} + 32 right )} = 0$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

-x*log81 + log32+16+x+81+x+18*4+x = 0

Приводим подобные слагаемые в левой части ур-ния:

-x*log(81) + log(32 + 16^x + 81^x – 18*4^x) = 0

Данное ур-ние не имеет решений
делаем обратную замену
$$log{left (3 right )} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = 76.25$$
$$x_{2} = 96.25$$
$$x_{3} = 18.7933810253$$
$$x_{4} = 23.9461436506$$
$$x_{5} = 88.25$$
$$x_{6} = 90.25$$
$$x_{7} = 94.25$$
$$x_{8} = 38.25$$
$$x_{9} = 30.25$$
$$x_{10} = 71.0769207229$$
$$x_{11} = 2$$
$$x_{12} = 60.25$$
$$x_{13} = 58.25$$
$$x_{14} = 98.25$$
$$x_{15} = 55.2432144568$$
$$x_{16} = 92.25$$
$$x_{17} = 63.7505893915$$
$$x_{18} = 0.5$$
$$x_{19} = 74.25$$
$$x_{20} = 46.25$$
$$x_{21} = 17.1637075383$$
$$x_{22} = 27.9693015157$$
$$x_{23} = 32.25$$
$$x_{24} = 22.2499999983$$
$$x_{25} = 19.0574177587$$
$$x_{26} = 68.25$$
$$x_{27} = 88.2456809863$$
$$x_{28} = 78.25$$
$$x_{29} = 40.6556406253$$
$$x_{30} = 49.6794188932$$
$$x_{31} = 19.0574179822$$
$$x_{32} = 66.25$$
$$x_{33} = 64.25$$
$$x_{34} = 71.3283327475$$
$$x_{35} = 55.1428373995$$
$$x_{36} = 34.25$$
$$x_{37} = 100.25$$
$$x_{38} = 44.7889936484$$
$$x_{39} = 84.25$$
$$x_{40} = 42.25$$
$$x_{41} = 82.25$$
$$x_{42} = 50.25$$
$$x_{43} = 26.25$$
$$x_{44} = 78.6425075877$$
$$x_{45} = 36.25$$
$$x_{46} = 48.25$$
$$x_{1} = 76.25$$
$$x_{2} = 96.25$$
$$x_{3} = 18.7933810253$$
$$x_{4} = 23.9461436506$$
$$x_{5} = 88.25$$
$$x_{6} = 90.25$$
$$x_{7} = 94.25$$
$$x_{8} = 38.25$$
$$x_{9} = 30.25$$
$$x_{10} = 71.0769207229$$
$$x_{11} = 2$$
$$x_{12} = 60.25$$
$$x_{13} = 58.25$$
$$x_{14} = 98.25$$
$$x_{15} = 55.2432144568$$
$$x_{16} = 92.25$$
$$x_{17} = 63.7505893915$$
$$x_{18} = 0.5$$
$$x_{19} = 74.25$$
$$x_{20} = 46.25$$
$$x_{21} = 17.1637075383$$
$$x_{22} = 27.9693015157$$
$$x_{23} = 32.25$$
$$x_{24} = 22.2499999983$$
$$x_{25} = 19.0574177587$$
$$x_{26} = 68.25$$
$$x_{27} = 88.2456809863$$
$$x_{28} = 78.25$$
$$x_{29} = 40.6556406253$$
$$x_{30} = 49.6794188932$$
$$x_{31} = 19.0574179822$$
$$x_{32} = 66.25$$
$$x_{33} = 64.25$$
$$x_{34} = 71.3283327475$$
$$x_{35} = 55.1428373995$$
$$x_{36} = 34.25$$
$$x_{37} = 100.25$$
$$x_{38} = 44.7889936484$$
$$x_{39} = 84.25$$
$$x_{40} = 42.25$$
$$x_{41} = 82.25$$
$$x_{42} = 50.25$$
$$x_{43} = 26.25$$
$$x_{44} = 78.6425075877$$
$$x_{45} = 36.25$$
$$x_{46} = 48.25$$
Данные корни
$$x_{18} = 0.5$$
$$x_{11} = 2$$
$$x_{21} = 17.1637075383$$
$$x_{3} = 18.7933810253$$
$$x_{25} = 19.0574177587$$
$$x_{31} = 19.0574179822$$
$$x_{24} = 22.2499999983$$
$$x_{4} = 23.9461436506$$
$$x_{43} = 26.25$$
$$x_{22} = 27.9693015157$$
$$x_{9} = 30.25$$
$$x_{23} = 32.25$$
$$x_{36} = 34.25$$
$$x_{45} = 36.25$$
$$x_{8} = 38.25$$
$$x_{29} = 40.6556406253$$
$$x_{40} = 42.25$$
$$x_{38} = 44.7889936484$$
$$x_{20} = 46.25$$
$$x_{46} = 48.25$$
$$x_{30} = 49.6794188932$$
$$x_{42} = 50.25$$
$$x_{35} = 55.1428373995$$
$$x_{15} = 55.2432144568$$
$$x_{13} = 58.25$$
$$x_{12} = 60.25$$
$$x_{17} = 63.7505893915$$
$$x_{33} = 64.25$$
$$x_{32} = 66.25$$
$$x_{26} = 68.25$$
$$x_{10} = 71.0769207229$$
$$x_{34} = 71.3283327475$$
$$x_{19} = 74.25$$
$$x_{1} = 76.25$$
$$x_{28} = 78.25$$
$$x_{44} = 78.6425075877$$
$$x_{41} = 82.25$$
$$x_{39} = 84.25$$
$$x_{27} = 88.2456809863$$
$$x_{5} = 88.25$$
$$x_{6} = 90.25$$
$$x_{16} = 92.25$$
$$x_{7} = 94.25$$
$$x_{2} = 96.25$$
$$x_{14} = 98.25$$
$$x_{37} = 100.25$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{18}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{18} – frac{1}{10}$$
=
$$0.4$$
=
$$0.4$$
подставляем в выражение
$$frac{1}{log{left (3 right )}} log{left (- 18 cdot 4^{x} + 16^{x} + 81^{x} + 32 right )} geq 4 x$$

/ 0.4 0.4 0.4
log81 + 16 – 18*4 + 32/
——————————— >= 4*0.4
1
log (3)

2.25036073257855
—————- >= 1.6
log(3)

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x leq 0.5$$

_____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____
/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /
——-•——-•——-•——-•——-•——-•——-•——-•——-•——-•——-•——-•——-•——-•——-•——-•——-•——-•——-•——-•——-•——-•——-•——-•——-•——-•——-•——-•——-•——-•——-•——-•——-•——-•——-•——-•——-•——-•——-•——-•——-•——-•——-•——-•——-•——-•——-
x18 x11 x21 x3 x25 x31 x24 x4 x43 x22 x9 x23 x36 x45 x8 x29 x40 x38 x20 x46 x30 x42 x35 x15 x13 x12 x17 x33 x32 x26 x10 x34 x19 x1 x28 x44 x41 x39 x27 x5 x6 x16 x7 x2 x14 x37

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x leq 0.5$$
$$x geq 2 wedge x leq 17.1637075383$$
$$x geq 18.7933810253 wedge x leq 19.0574177587$$
$$x geq 19.0574179822 wedge x leq 22.2499999983$$
$$x geq 23.9461436506 wedge x leq 26.25$$
$$x geq 27.9693015157 wedge x leq 30.25$$
$$x geq 32.25 wedge x leq 34.25$$
$$x geq 36.25 wedge x leq 38.25$$
$$x geq 40.6556406253 wedge x leq 42.25$$
$$x geq 44.7889936484 wedge x leq 46.25$$
$$x geq 48.25 wedge x leq 49.6794188932$$
$$x geq 50.25 wedge x leq 55.1428373995$$
$$x geq 55.2432144568 wedge x leq 58.25$$
$$x geq 60.25 wedge x leq 63.7505893915$$
$$x geq 64.25 wedge x leq 66.25$$
$$x geq 68.25 wedge x leq 71.0769207229$$
$$x geq 71.3283327475 wedge x leq 74.25$$
$$x geq 76.25 wedge x leq 78.25$$
$$x geq 78.6425075877 wedge x leq 82.25$$
$$x geq 84.25 wedge x leq 88.2456809863$$
$$x geq 88.25 wedge x leq 90.25$$
$$x geq 92.25 wedge x leq 94.25$$
$$x geq 96.25 wedge x leq 98.25$$
$$x geq 100.25$$