log(x-3)^2*(3*x^2+7*x+1)>=0

$$left(3 x^{2} + 7 x + 1right) log^{2}{left (x – 3 right )} geq 0$$

Дано неравенство:
$$left(3 x^{2} + 7 x + 1right) log^{2}{left (x – 3 right )} geq 0$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$left(3 x^{2} + 7 x + 1right) log^{2}{left (x – 3 right )} = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$left(3 x^{2} + 7 x + 1right) log^{2}{left (x – 3 right )} = 0$$
преобразуем
$$left(3 x^{2} + 7 x + 1right) log^{2}{left (x – 3 right )} = 0$$
$$left(3 x^{2} + 7 x + 1right) log^{2}{left (x – 3 right )} = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (x – 3 right )}$$
Раскроем выражение в уравнении
$$w^{2} left(3 x^{2} + 7 x + 1right) = 0$$
Получаем квадратное уравнение
$$3 w^{2} x^{2} + 7 w^{2} x + w^{2} = 0$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$w_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = 3 x^{2} + 7 x + 1$$
$$b = 0$$
$$c = 0$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(0)^2 – 4 * (1 + 3*x^2 + 7*x) * (0) = 0

Т.к. D = 0, то корень всего один.

w = -b/2a = -0/2/(1 + 3*x^2 + 7*x)

$$w_{1} = 0$$
делаем обратную замену
$$log{left (x – 3 right )} = w$$
Дано уравнение
$$log{left (x – 3 right )} = w$$
$$log{left (x – 3 right )} = w$$
Это уравнение вида:

log(v)=p

По определению log

v=e^p

тогда

w
–
1
x – 3 = e

упрощаем
$$x – 3 = e^{w}$$
$$x = e^{w} + 3$$
подставляем w:
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = – frac{7}{6} – frac{sqrt{37}}{6}$$
$$x_{3} = – frac{7}{6} + frac{sqrt{37}}{6}$$
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = – frac{7}{6} – frac{sqrt{37}}{6}$$
$$x_{3} = – frac{7}{6} + frac{sqrt{37}}{6}$$
Данные корни
$$x_{2} = – frac{7}{6} – frac{sqrt{37}}{6}$$
$$x_{3} = – frac{7}{6} + frac{sqrt{37}}{6}$$
$$x_{1} = 4$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} – frac{1}{10}$$
=

____
7 / 37 1
– – – —— – —
6 6 10

=
$$- frac{19}{15} – frac{sqrt{37}}{6}$$
подставляем в выражение
$$left(3 x^{2} + 7 x + 1right) log^{2}{left (x – 3 right )} geq 0$$

/ 2
/ ____ | / ____ / ____ |
2| 7 / 37 1 | | | 7 / 37 1 | | 7 / 37 1 | |
log |- – – —— – — – 3|*|3*|- – – —— – –| + 7*|- – – —— – –| + 1| >= 0
6 6 10 / 6 6 10/ 6 6 10/ /

2 / 2
/ / ____ | / ____ ____|
| |64 / 37 || | 118 | 19 / 37 | 7*/ 37 | >= 0
|pi*I + log|– + ——|| *|- — + 3*|- — – ——| – ——–|
15 6 // 15 15 6 / 6 /

Тогда
$$x leq – frac{7}{6} – frac{sqrt{37}}{6}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x geq – frac{7}{6} – frac{sqrt{37}}{6} wedge x leq – frac{7}{6} + frac{sqrt{37}}{6}$$

_____ _____
/ /
——-•——-•——-•——-
x2 x3 x1

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x geq – frac{7}{6} – frac{sqrt{37}}{6} wedge x leq – frac{7}{6} + frac{sqrt{37}}{6}$$
$$x geq 4$$

$$left(4 leq x wedge x < inftyright) vee x = - frac{7}{6} - frac{sqrt{37}}{6} vee x = - frac{7}{6} + frac{sqrt{37}}{6}$$

____ ____
7 / 37 7 / 37
{- – – ——, – – + ——} U [4, oo)
6 6 6 6

$$x in left{- frac{7}{6} – frac{sqrt{37}}{6}, – frac{7}{6} + frac{sqrt{37}}{6}right} cup left[4, inftyright)$$