log(x+6)*1/log(3)

$$frac{log{left (x + 6 right )}}{log{left (3 right )}} leq frac{log{left (9 x right )}}{log{left (3 right )}} left(1 – frac{log{left (- x + 6 right )}}{log{left (9 x right )}}right)$$

Дано неравенство:
$$frac{log{left (x + 6 right )}}{log{left (3 right )}} leq frac{log{left (9 x right )}}{log{left (3 right )}} left(1 – frac{log{left (- x + 6 right )}}{log{left (9 x right )}}right)$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{log{left (x + 6 right )}}{log{left (3 right )}} = frac{log{left (9 x right )}}{log{left (3 right )}} left(1 – frac{log{left (- x + 6 right )}}{log{left (9 x right )}}right)$$
Решаем:
Дано уравнение
$$frac{log{left (x + 6 right )}}{log{left (3 right )}} = frac{log{left (9 x right )}}{log{left (3 right )}} left(1 – frac{log{left (- x + 6 right )}}{log{left (9 x right )}}right)$$
преобразуем
$$frac{1}{log{left (3 right )}} left(- log{left (9 x right )} + log{left (- x + 6 right )} + log{left (x + 6 right )}right) = 0$$
$$- frac{log{left (9 x right )}}{log{left (3 right )}} left(1 – frac{log{left (- x + 6 right )}}{log{left (9 x right )}}right) + frac{log{left (x + 6 right )}}{log{left (3 right )}} = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (3 right )}$$
Дано уравнение:
$$- frac{1}{w} left(1 – frac{log{left (- x + 6 right )}}{log{left (9 x right )}}right) log{left (9 x right )} + frac{1}{w} log{left (x + 6 right )} = 0$$
Используем правило пропорций:
Из a1/b1 = a2/b2 следует a1*b2 = a2*b1,
В нашем случае

a1 = log(6 + x)

b1 = w

a2 = (1 – log(6 – x)/log(9*x))*log(9*x)

b2 = w

зн. получим ур-ние
$$w log{left (x + 6 right )} = w left(1 – frac{log{left (- x + 6 right )}}{log{left (9 x right )}}right) log{left (9 x right )}$$
$$w log{left (x + 6 right )} = w left(1 – frac{log{left (- x + 6 right )}}{log{left (9 x right )}}right) log{left (9 x right )}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

w*log6+x = w*(1 – log(6 – x)/log(9*x))*log(9*x)

Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

w*log6+x = w1+log+6+xlog9*x)*log9*x

Разделим обе части ур-ния на log(6 + x)

w = w*(1 – log(6 – x)/log(9*x))*log(9*x) / (log(6 + x))

Получим ответ: w = 0
делаем обратную замену
$$log{left (3 right )} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = -12$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{1} = -12$$
$$x_{2} = 3$$
Данные корни
$$x_{1} = -12$$
$$x_{2} = 3$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$- frac{121}{10}$$
=
$$- frac{121}{10}$$
подставляем в выражение
$$frac{log{left (x + 6 right )}}{log{left (3 right )}} leq frac{log{left (9 x right )}}{log{left (3 right )}} left(1 – frac{log{left (- x + 6 right )}}{log{left (9 x right )}}right)$$

/ / -121
| log|6 – —–||
| 10 /| /9*(-121)
|1 – ————–|*log|——–|
/ 121 | 1/9*(-121)| 10 /
log|- — + 6| | log |——–||
10 / 10 //
————– <= ---------------------------------- 1 1 log (3) log (3)

/ -log(10) + log(181)
-log(10) + pi*I + log(61) |1 – —————————|*(-log(10) + pi*I + log(1089))
————————- <= -log(10) + pi*I + log(1089)/ log(3) --------------------------------------------------------------- log(3)

Тогда
$$x leq -12$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x geq -12 wedge x leq 3$$

_____
/
——-•——-•——-
x1 x2

$$x = -12 vee x = 3$$

{-12, 3}

$$x in left{-12, 3right}$$