sin(4*pi*x*1/3)>(-sqrt(3))*1/2

$$sin{left (frac{4 pi}{3} x right )} > frac{-1 sqrt{3}}{2}$$

Дано неравенство:
$$sin{left (frac{4 pi}{3} x right )} > frac{-1 sqrt{3}}{2}$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$sin{left (frac{4 pi}{3} x right )} = frac{-1 sqrt{3}}{2}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$sin{left (frac{4 pi}{3} x right )} = frac{-1 sqrt{3}}{2}$$
– это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$frac{4 pi}{3} x = 2 pi n + {asin}{left (- frac{sqrt{3}}{2} right )}$$
$$frac{4 pi}{3} x = 2 pi n – {asin}{left (- frac{sqrt{3}}{2} right )} + pi$$
Или
$$frac{4 pi}{3} x = 2 pi n – frac{pi}{3}$$
$$frac{4 pi}{3} x = 2 pi n + frac{4 pi}{3}$$
, где n – любое целое число
Разделим обе части полученного ур-ния на
$$frac{4 pi}{3}$$
$$x_{1} = frac{1}{4 pi} left(6 pi n – piright)$$
$$x_{2} = frac{1}{4 pi} left(6 pi n + 4 piright)$$
$$x_{1} = frac{1}{4 pi} left(6 pi n – piright)$$
$$x_{2} = frac{1}{4 pi} left(6 pi n + 4 piright)$$
Данные корни
$$x_{1} = frac{1}{4 pi} left(6 pi n – piright)$$
$$x_{2} = frac{1}{4 pi} left(6 pi n + 4 piright)$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=

/ pi
3*|- — + 2*pi*n|
3 / 1
—————– – —
1 10
4*pi

=
$$frac{1}{4 pi} left(6 pi n – piright) – frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$sin{left (frac{4 pi}{3} x right )} > frac{-1 sqrt{3}}{2}$$

/ / / pi
| |3*|- — + 2*pi*n| ||
| | 3 / 1 ||
|4*pi*|—————– – –||
| | 1 10|| ___
| 4*pi /| -/ 3
sin|—————————–| > ——-
3 / 2

/ / pi ___
| | – — + 2*pi*n|| -/ 3
| | 2 3 || > ——-
sin|pi*|- — + ————-|| 2
15 pi //

Тогда
$$x < frac{1}{4 pi} left(6 pi n - piright)$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > frac{1}{4 pi} left(6 pi n – piright) wedge x < frac{1}{4 pi} left(6 pi n + 4 piright)$$

_____
/
——-ο——-ο——-
x1 x2

$$left(- frac{1}{4} < x wedge x < 1right) vee left(1 < x wedge x < inftyright)$$

(-1/4, 1) U (1, oo)

$$x in left(- frac{1}{4}, 1right) cup left(1, inftyright)$$