sin(x)-sqrt(3)*cos(x)

$$sin{left (x right )} – sqrt{3} cos{left (x right )} < 1$$

Дано неравенство:
$$sin{left (x right )} – sqrt{3} cos{left (x right )} < 1$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$sin{left (x right )} – sqrt{3} cos{left (x right )} = 1$$
Решаем:
$$x_{1} = frac{pi}{2}$$
$$x_{2} = – 2 {atan}{left (sqrt{3} + 2 right )}$$
$$x_{1} = frac{pi}{2}$$
$$x_{2} = – 2 {atan}{left (sqrt{3} + 2 right )}$$
Данные корни
$$x_{2} = – 2 {atan}{left (sqrt{3} + 2 right )}$$
$$x_{1} = frac{pi}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} – frac{1}{10}$$
=

/ ___ 1
– 2*atan2 + / 3 / – —
10

=
$$- 2 {atan}{left (sqrt{3} + 2 right )} – frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$sin{left (x right )} – sqrt{3} cos{left (x right )} < 1$$

/ / ___ 1 ___ / / ___ 1
sin|- 2*atan2 + / 3 / – –| – / 3 *cos|- 2*atan2 + / 3 / – –| < 1 10/ 10/

/1 / ___ ___ /1 / ___
– sin|– + 2*atan2 + / 3 /| – / 3 *cos|– + 2*atan2 + / 3 /| < 1 10 / 10 /

но

/1 / ___ ___ /1 / ___
– sin|– + 2*atan2 + / 3 /| – / 3 *cos|– + 2*atan2 + / 3 /| > 1
10 / 10 /

Тогда
$$x < - 2 {atan}{left (sqrt{3} + 2 right )}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > – 2 {atan}{left (sqrt{3} + 2 right )} wedge x < frac{pi}{2}$$

_____
/
——-ο——-ο——-
x2 x1

/ / / ___ / pi / ___
Or|And -oo < x, x < -2*atan2 + / 3 //, And|x < --, -2*atan2 + / 3 / < x|| 2 //

$$left(-infty < x wedge x < - 2 {atan}{left (sqrt{3} + 2 right )}right) vee left(x < frac{pi}{2} wedge - 2 {atan}{left (sqrt{3} + 2 right )} < xright)$$

/ ___ / ___ pi
(-oo, -2*atan2 + / 3 /) U (-2*atan2 + / 3 /, –)
2

$$x in left(-infty, – 2 {atan}{left (sqrt{3} + 2 right )}right) cup left(- 2 {atan}{left (sqrt{3} + 2 right )}, frac{pi}{2}right)$$