sin(x)>1/(sqrt(2))

$$sin{left (x right )} > frac{1}{sqrt{2}}$$

Дано неравенство:
$$sin{left (x right )} > frac{1}{sqrt{2}}$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$sin{left (x right )} = frac{1}{sqrt{2}}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$sin{left (x right )} = frac{1}{sqrt{2}}$$
– это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 pi n + {asin}{left (frac{sqrt{2}}{2} right )}$$
$$x = 2 pi n – {asin}{left (frac{sqrt{2}}{2} right )} + pi$$
Или
$$x = 2 pi n + frac{pi}{4}$$
$$x = 2 pi n + frac{3 pi}{4}$$
, где n – любое целое число
$$x_{1} = 2 pi n + frac{pi}{4}$$
$$x_{2} = 2 pi n + frac{3 pi}{4}$$
$$x_{1} = 2 pi n + frac{pi}{4}$$
$$x_{2} = 2 pi n + frac{3 pi}{4}$$
Данные корни
$$x_{1} = 2 pi n + frac{pi}{4}$$
$$x_{2} = 2 pi n + frac{3 pi}{4}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$2 pi n + frac{pi}{4} + – frac{1}{10}$$
=
$$2 pi n – frac{1}{10} + frac{pi}{4}$$
подставляем в выражение
$$sin{left (x right )} > frac{1}{sqrt{2}}$$
$$sin{left (2 pi n + frac{pi}{4} + – frac{1}{10} right )} > frac{1}{sqrt{2}}$$

___
/ 1 pi / 2
sin|- — + — + 2*pi*n| > —–
10 4 / 2

Тогда
$$x < 2 pi n + frac{pi}{4}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > 2 pi n + frac{pi}{4} wedge x < 2 pi n + frac{3 pi}{4}$$

_____
/
——-ο——-ο——-
x1 x2

/pi 3*pi
And|– < x, x < ----| 4 4 /

$$frac{pi}{4} < x wedge x < frac{3 pi}{4}$$

pi 3*pi
(–, —-)
4 4

$$x in left(frac{pi}{4}, frac{3 pi}{4}right)$$