(sqrt(1/5))^((-x)*1/6)>=1/25

$$left(sqrt{frac{1}{5}}right)^{frac{-1 x}{6}} geq frac{1}{25}$$

Дано неравенство:
$$left(sqrt{frac{1}{5}}right)^{frac{-1 x}{6}} geq frac{1}{25}$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$left(sqrt{frac{1}{5}}right)^{frac{-1 x}{6}} = frac{1}{25}$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$left(sqrt{frac{1}{5}}right)^{frac{-1 x}{6}} = frac{1}{25}$$
или
$$left(sqrt{frac{1}{5}}right)^{frac{-1 x}{6}} – frac{1}{25} = 0$$
или
$$left(sqrt[6]{5} frac{5^{frac{11}{12}}}{5}right)^{x} = frac{1}{25}$$
или
$$left(sqrt[6]{5} frac{5^{frac{11}{12}}}{5}right)^{x} = frac{1}{25}$$
– это простейшее показательное ур-ние
Сделаем замену
$$v = left(sqrt[6]{5} frac{5^{frac{11}{12}}}{5}right)^{x}$$
получим
$$v – frac{1}{25} = 0$$
или
$$v – frac{1}{25} = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без v)
из левой части в правую, получим:
$$v = frac{1}{25}$$
делаем обратную замену
$$left(sqrt[6]{5} frac{5^{frac{11}{12}}}{5}right)^{x} = v$$
или
$$x = frac{log{left (v right )}}{log{left (sqrt[6]{5} frac{5^{frac{11}{12}}}{5} right )}}$$
$$x_{1} = frac{1}{25}$$
$$x_{1} = frac{1}{25}$$
Данные корни
$$x_{1} = frac{1}{25}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$- frac{3}{50}$$
=
$$- frac{3}{50}$$
подставляем в выражение
$$left(sqrt{frac{1}{5}}right)^{frac{-1 x}{6}} geq frac{1}{25}$$
$$left(sqrt{frac{1}{5}}right)^{frac{1}{6} left(-1 cdot – frac{3}{50}right)} geq frac{1}{25}$$

99
—
200___ 100
/ 5 *5 >= 1/25
———–
5

значит решение неравенства будет при:
$$x leq frac{1}{25}$$

_____
——-•——-
x1

$$-24 leq x wedge x < infty$$

[-24, oo)

$$x in left[-24, inftyright)$$