sqrt(32*x+48)>=6*x-6

$$sqrt{32 x + 48} geq 6 x – 6$$

Дано неравенство:
$$sqrt{32 x + 48} geq 6 x – 6$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$sqrt{32 x + 48} = 6 x – 6$$
Решаем:
Дано уравнение
$$sqrt{32 x + 48} = 6 x – 6$$
$$sqrt{32 x + 48} = 6 x – 6$$
Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
$$32 x + 48 = left(6 x – 6right)^{2}$$
$$32 x + 48 = 36 x^{2} – 72 x + 36$$
Перенесём правую часть уравнения левую часть уравнения со знаком минус
$$- 36 x^{2} + 104 x + 12 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$x_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = -36$$
$$b = 104$$
$$c = 12$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(104)^2 – 4 * (-36) * (12) = 12544

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = – frac{1}{9}$$
$$x_{2} = 3$$

Т.к.
$$sqrt{32 x + 48} = 6 x – 6$$
и
$$sqrt{32 x + 48} geq 0$$
то
$$6 x – 6 geq 0$$
или
$$1 leq x$$
$$x < infty$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{1} = 3$$
$$x_{1} = 3$$
Данные корни
$$x_{1} = 3$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$frac{29}{10}$$
=
$$frac{29}{10}$$
подставляем в выражение
$$sqrt{32 x + 48} geq 6 x – 6$$
$$sqrt{48 + frac{928}{10} 1} geq -6 + frac{174}{10} 1$$

____
8*/ 55
——– >= 57/5
5

значит решение неравенства будет при:
$$x leq 3$$

_____
——-•——-
x1

$$- frac{3}{2} leq x wedge x leq 3$$

[-3/2, 3]

$$x in left[- frac{3}{2}, 3right]$$