sqrt(x+8)>x+2

$$sqrt{x + 8} > x + 2$$

Дано неравенство:
$$sqrt{x + 8} > x + 2$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$sqrt{x + 8} = x + 2$$
Решаем:
Дано уравнение
$$sqrt{x + 8} = x + 2$$
$$sqrt{x + 8} = x + 2$$
Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
$$x + 8 = left(x + 2right)^{2}$$
$$x + 8 = x^{2} + 4 x + 4$$
Перенесём правую часть уравнения левую часть уравнения со знаком минус
$$- x^{2} – 3 x + 4 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$x_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = -1$$
$$b = -3$$
$$c = 4$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(-3)^2 – 4 * (-1) * (4) = 25

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 1$$

Т.к.
$$sqrt{x + 8} = x + 2$$
и
$$sqrt{x + 8} geq 0$$
то
$$x + 2 geq 0$$
или
$$-2 leq x$$
$$x < infty$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
Данные корни
$$x_{1} = 1$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$frac{9}{10}$$
=
$$frac{9}{10}$$
подставляем в выражение
$$sqrt{x + 8} > x + 2$$
$$sqrt{frac{9}{10} + 8} > frac{9}{10} + 2$$

_____
/ 890 29
——- > —
10 10

значит решение неравенства будет при:
$$x < 1$$

_____
——-ο——-
x1

$$left(-8 leq x wedge x < -4right) vee left(-4 < x wedge x < 1right)$$

[-8, -4) U (-4, 1)

$$x in left[-8, -4right) cup left(-4, 1right)$$