sqrt(x^2+22)

$$sqrt{x^{2} + 22} leq 5$$

Дано неравенство:
$$sqrt{x^{2} + 22} leq 5$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$sqrt{x^{2} + 22} = 5$$
Решаем:
Дано уравнение
$$sqrt{x^{2} + 22} = 5$$
$$sqrt{x^{2} + 22} = 5$$
Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
$$x^{2} + 22 = 25$$
$$x^{2} + 22 = 25$$
Перенесём правую часть уравнения левую часть уравнения со знаком минус
$$x^{2} – 3 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$x_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = -3$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(0)^2 – 4 * (1) * (-3) = 12

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = sqrt{3}$$
$$x_{2} = – sqrt{3}$$

Т.к.
$$sqrt{x^{2} + 22} = 5$$
и
$$sqrt{x^{2} + 22} geq 0$$
то
$$5 geq 0$$
$$x_{1} = sqrt{3}$$
$$x_{2} = – sqrt{3}$$
$$x_{1} = sqrt{3}$$
$$x_{2} = – sqrt{3}$$
$$x_{1} = sqrt{3}$$
$$x_{2} = – sqrt{3}$$
Данные корни
$$x_{2} = – sqrt{3}$$
$$x_{1} = sqrt{3}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} – frac{1}{10}$$
=

___ 1
– / 3 – —
10

=
$$- sqrt{3} – frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$sqrt{x^{2} + 22} leq 5$$

______________________
/ 2
/ / ___ 1
/ |- / 3 – –| + 22 <= 5 / 10/

______________________
/ 2
/ / 1 ___ <= 5 / 22 + |- -- - / 3 | / 10 /

но

______________________
/ 2
/ / 1 ___ >= 5
/ 22 + |- — – / 3 |
/ 10 /

Тогда
$$x leq – sqrt{3}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x geq – sqrt{3} wedge x leq sqrt{3}$$

_____
/
——-•——-•——-
x2 x1

$$- sqrt{3} leq x wedge x leq sqrt{3}$$

___ ___
[-/ 3 , / 3 ]

$$x in left[- sqrt{3}, sqrt{3}right]$$