На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
$$frac{left(x^{2} – x – 14right)^{2}}{2 x + sqrt{21}} < frac{left(2 x^{2} - x - 13right)^{2}}{2 x + sqrt{21}}$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{left(x^{2} – x – 14right)^{2}}{2 x + sqrt{21}} = frac{left(2 x^{2} – x – 13right)^{2}}{2 x + sqrt{21}}$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$frac{left(x^{2} – x – 14right)^{2}}{2 x + sqrt{21}} = frac{left(2 x^{2} – x – 13right)^{2}}{2 x + sqrt{21}}$$
преобразуем:
Вынесем общий множитель за скобки
$$- frac{1}{2 x + sqrt{21}} left(x^{2} + 1right) left(3 x^{2} – 2 x – 27right) = 0$$
знаменатель
$$2 x + sqrt{21}$$
тогда
x не равен -sqrt(21)/2
Т.к. правая часть ур-ния равна нулю, то решение у ур-ния будет, если хотя бы один из множителей в левой части ур-ния равен нулю.
Получим ур-ния
$$- x^{2} – 1 = 0$$
$$3 x^{2} – 2 x – 27 = 0$$
решаем получившиеся ур-ния:
1.
$$- x^{2} – 1 = 0$$
Это уравнение вида
a*x^2 + b*x + c = 0
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$x_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = -1$$
$$b = 0$$
$$c = -1$$
, то
D = b^2 – 4 * a * c =
(0)^2 – 4 * (-1) * (-1) = -4
Т.к. D < 0, то уравнение
не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.
x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)
или
$$x_{1} = – i$$
$$x_{2} = i$$
3.
$$3 x^{2} – 2 x – 27 = 0$$
Это уравнение вида
a*x^2 + b*x + c = 0
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{3} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$x_{4} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = 3$$
$$b = -2$$
$$c = -27$$
, то
D = b^2 – 4 * a * c =
(-2)^2 – 4 * (3) * (-27) = 328
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
x3 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x4 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)
или
$$x_{3} = frac{1}{3} + frac{sqrt{82}}{3}$$
$$x_{4} = – frac{sqrt{82}}{3} + frac{1}{3}$$
но
x не равен -sqrt(21)/2
$$x_{1} = – i$$
$$x_{2} = i$$
$$x_{3} = frac{1}{3} + frac{sqrt{82}}{3}$$
$$x_{4} = – frac{sqrt{82}}{3} + frac{1}{3}$$
Исключаем комплексные решения:
$$x_{1} = frac{1}{3} + frac{sqrt{82}}{3}$$
$$x_{2} = – frac{sqrt{82}}{3} + frac{1}{3}$$
Данные корни
$$x_{2} = – frac{sqrt{82}}{3} + frac{1}{3}$$
$$x_{1} = frac{1}{3} + frac{sqrt{82}}{3}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} – frac{1}{10}$$
=
____
1 / 82 1
– – —— – —
3 3 10
=
$$- frac{sqrt{82}}{3} + frac{7}{30}$$
подставляем в выражение
$$frac{left(x^{2} – x – 14right)^{2}}{2 x + sqrt{21}} < frac{left(2 x^{2} - x - 13right)^{2}}{2 x + sqrt{21}}$$
2 2
/ 2 / 2
|/ ____ ____ | | / ____ ____ |
||1 / 82 1 | 1 / 82 1 | | |1 / 82 1 | 1 / 82 1 |
||- – —— – –| – – – —— – — – 14| |2*|- – —— – –| – – – —— – — – 13|
3 3 10/ 3 3 10 / 3 3 10/ 3 3 10 /
——————————————– < ---------------------------------------------- 1 1 / / ____ / / ____ | |1 / 82 1 | ____| | |1 / 82 1 | ____| |2*|- - ------ - --| + / 21 | |2*|- - ------ - --| + / 21 | 3 3 10/ / 3 3 10/ /
2 2
/ 2 / 2
| / ____ ____| | / ____ ____|
| 427 |7 / 82 | / 82 | | 397 |7 / 82 | / 82 |
|- — + |– – ——| + ——| |- — + 2*|– – ——| + ——|
30 30 3 / 3 / < 30 30 3 / 3 / ---------------------------------- ------------------------------------ ____ ____ 7 ____ 2*/ 82 7 ____ 2*/ 82 -- + / 21 - -------- -- + / 21 - -------- 15 3 15 3
но
2 2
/ 2 / 2
| / ____ ____| | / ____ ____|
| 427 |7 / 82 | / 82 | | 397 |7 / 82 | / 82 |
|- — + |– – ——| + ——| |- — + 2*|– – ——| + ——|
30 30 3 / 3 / > 30 30 3 / 3 /
———————————- ————————————
____ ____
7 ____ 2*/ 82 7 ____ 2*/ 82
— + / 21 – ——– — + / 21 – ——–
15 3 15 3
Тогда
$$x < - frac{sqrt{82}}{3} + frac{1}{3}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > – frac{sqrt{82}}{3} + frac{1}{3} wedge x < frac{1}{3} + frac{sqrt{82}}{3}$$
_____
/
——-ο——-ο——-
x2 x1
____ ____ ____
1 / 82 -/ 21 1 / 82
(- – ——, ——–) U (- + ——, oo)
3 3 2 3 3
