sqrt(2*x+5)-sqrt(3*x-5)=2

$$sqrt{2 x + 5} – sqrt{3 x – 5} = 2$$

Дано уравнение
$$sqrt{2 x + 5} – sqrt{3 x – 5} = 2$$
Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
$$left(sqrt{2 x + 5} – sqrt{3 x – 5}right)^{2} = 4$$
или
$$left(-1right)^{2} left(3 x – 5right) + – 2 sqrt{left(2 x + 5right) left(3 x – 5right)} + 1^{2} left(2 x + 5right) = 4$$
или
$$5 x – 2 sqrt{6 x^{2} + 5 x – 25} = 4$$
преобразуем:
$$- 2 sqrt{6 x^{2} + 5 x – 25} = – 5 x + 4$$
Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
$$24 x^{2} + 20 x – 100 = left(- 5 x + 4right)^{2}$$
$$24 x^{2} + 20 x – 100 = 25 x^{2} – 40 x + 16$$
Перенесём правую часть уравнения левую часть уравнения со знаком минус
$$- x^{2} + 60 x – 116 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$x_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = -1$$
$$b = 60$$
$$c = -116$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(60)^2 – 4 * (-1) * (-116) = 3136

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 58$$

Т.к.
$$sqrt{6 x^{2} + 5 x – 25} = frac{5 x}{2} – 2$$
и
$$sqrt{6 x^{2} + 5 x – 25} geq 0$$
то
$$frac{5 x}{2} – 2 geq 0$$
или
$$frac{4}{5} leq x$$
$$x < infty$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 58$$
проверяем:
$$x_{1} = 2$$
$$sqrt{2 x_{1} + 5} – sqrt{3 x_{1} – 5} – 2 = 0$$
=
$$-2 + – sqrt{-5 + 2 cdot 3} + sqrt{2 cdot 2 + 5} = 0$$
=

0 = 0

– тождество
$$x_{2} = 58$$
$$sqrt{2 x_{2} + 5} – sqrt{3 x_{2} – 5} – 2 = 0$$
=
$$- sqrt{-5 + 3 cdot 58} + sqrt{5 + 2 cdot 58} – 2 = 0$$
=

-4 = 0

– Нет
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = 2$$

$$x_{1} = 2$$

x1 = 2.00000000000000