На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
$$left(x – 16right)^{4} – 17 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 4 – содержит чётное число 4 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 4-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$sqrt[4]{left(x – 16right)^{4}} = sqrt[4]{17}$$
$$sqrt[4]{left(x – 16right)^{4}} = -1 sqrt[4]{17}$$
или
$$x – 16 = sqrt[4]{17}$$
$$x – 16 = – sqrt[4]{17}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
-16 + x = 17^1/4
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = sqrt[4]{17} + 16$$
Получим ответ: x = 16 + 17^(1/4)
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
-16 + x = -17^1/4
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
4 ____
x = 16 – / 17
Получим ответ: x = 16 – 17^(1/4)
или
$$x_{1} = – sqrt[4]{17} + 16$$
$$x_{2} = sqrt[4]{17} + 16$$
Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x – 16$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{4} = 17$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = 17$$
где
$$r = sqrt[4]{17}$$
– модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i sin{left (4 p right )} + cos{left (4 p right )} = 1$$
значит
$$cos{left (4 p right )} = 1$$
и
$$sin{left (4 p right )} = 0$$
тогда
$$p = frac{pi N}{2}$$
где N=0,1,2,3,…
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = – sqrt[4]{17}$$
$$z_{2} = sqrt[4]{17}$$
$$z_{3} = – sqrt[4]{17} i$$
$$z_{4} = sqrt[4]{17} i$$
делаем обратную замену
$$z = x – 16$$
$$x = z + 16$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = – sqrt[4]{17} + 16$$
$$x_{2} = sqrt[4]{17} + 16$$
$$x_{3} = 16 – sqrt[4]{17} i$$
$$x_{4} = 16 + sqrt[4]{17} i$$
4 ____
x2 = 16 + / 17
4 ____
x3 = 16 – I*/ 17
4 ____
x4 = 16 + I*/ 17
x1 = 13.9694568151000
x2 = 16.0 – 2.03054318487*i
x3 = 18.0305431849000
x4 = 16.0 + 2.03054318487*i
