x+y+z=6 3*x-y+3*z=2 4*x+3*y-z=5

Дано

$$z + x + y = 6$$

3*x — y + 3*z = 2

$$3 z + 3 x — y = 2$$

4*x + 3*y — z = 5

$$- z + 4 x + 3 y = 5$$
Ответ
$$x_{1} = -1$$
=
$$-1$$
=

-1

$$z_{1} = 3$$
=
$$3$$
=

3

$$y_{1} = 4$$
=
$$4$$
=

4

Метод Крамера
$$z + x + y = 6$$
$$3 z + 3 x — y = 2$$
$$- z + 4 x + 3 y = 5$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + y + z = 6$$
$$3 x — y + 3 z = 2$$
$$4 x + 3 y — z = 5$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[begin{matrix}x_{3} + x_{1} + x_{2}\3 x_{3} + 3 x_{1} — x_{2}\ — x_{3} + 4 x_{1} + 3 x_{2}end{matrix}\right] = \left[begin{matrix}6\2\5end{matrix}\right]$$
— это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = {det}{\left (\left[begin{matrix}1 & 1 & 1\3 & -1 & 3\4 & 3 & -1end{matrix}\right] \right )} = 20$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{20} {det}{\left (\left[begin{matrix}6 & 1 & 1\2 & -1 & 3\5 & 3 & -1end{matrix}\right] \right )} = -1$$
$$x_{2} = \frac{1}{20} {det}{\left (\left[begin{matrix}1 & 6 & 1\3 & 2 & 3\4 & 5 & -1end{matrix}\right] \right )} = 4$$
$$x_{3} = \frac{1}{20} {det}{\left (\left[begin{matrix}1 & 1 & 6\3 & -1 & 2\4 & 3 & 5end{matrix}\right] \right )} = 3$$

Метод Гаусса
Читайте также  7*y-5*x=-34 -5*x-7*y=64
Дана система ур-ний
$$z + x + y = 6$$
$$3 z + 3 x — y = 2$$
$$- z + 4 x + 3 y = 5$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + y + z = 6$$
$$3 x — y + 3 z = 2$$
$$4 x + 3 y — z = 5$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[begin{matrix}1 & 1 & 1 & 6\3 & -1 & 3 & 2\4 & 3 & -1 & 5end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[begin{matrix}1\3\4end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
— Для этого берём 1 ую строку
$$\left[begin{matrix}1 & 1 & 1 & 6end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[begin{matrix}0 & -4 & 0 & -16end{matrix}\right] = \left[begin{matrix}0 & -4 & 0 & -16end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[begin{matrix}1 & 1 & 1 & 6\0 & -4 & 0 & -16\4 & 3 & -1 & 5end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[begin{matrix}0 & -1 & -5 & -19end{matrix}\right] = \left[begin{matrix}0 & -1 & -5 & -19end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[begin{matrix}1 & 1 & 1 & 6\0 & -4 & 0 & -16\0 & -1 & -5 & -19end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[begin{matrix}1\ -4\ -1end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
— Для этого берём 2 ую строку
$$\left[begin{matrix}0 & -4 & 0 & -16end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[begin{matrix}1 & 0 & 1 & 2end{matrix}\right] = \left[begin{matrix}1 & 0 & 1 & 2end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[begin{matrix}1 & 0 & 1 & 2\0 & -4 & 0 & -16\0 & -1 & -5 & -19end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[begin{matrix}0 & 0 & -5 & -15end{matrix}\right] = \left[begin{matrix}0 & 0 & -5 & -15end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[begin{matrix}1 & 0 & 1 & 2\0 & -4 & 0 & -16\0 & 0 & -5 & -15end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[begin{matrix}1\0\ -5end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
— Для этого берём 3 ую строку
$$\left[begin{matrix}0 & 0 & -5 & -15end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[begin{matrix}1 & 0 & 0 & -1end{matrix}\right] = \left[begin{matrix}1 & 0 & 0 & -1end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[begin{matrix}1 & 0 & 0 & -1\0 & -4 & 0 & -16\0 & 0 & -5 & -15end{matrix}\right]$$

Читайте также  y*11000-x*5500=30 x*(2900+2900+5500)-y*5500=-65/2-30

Все почти готово — осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$x_{1} + 1 = 0$$
$$- 4 x_{2} + 16 = 0$$
$$- 5 x_{3} + 15 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 4$$
$$x_{3} = 3$$

Численный ответ

x1 = -1.00000000000000
y1 = 4.00000000000000
z1 = 3.00000000000000

1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (Пока оценок нет)
Загрузка...