Пусть дан ряд ∑∞n=1f(n) , члены которого являются значениями некоторой функции f(x), положительной и убывающей. Тогда, если ∫+∞1f(x)dx=A , то ряд сходится, если ∫+∞1f(x)dx=∞ , то ряд расходится: Вопрос 1Ответ a. признак Даламбера b. признак сравнения c. признак Коши d. необходимое условие сходимости e. признак Лейбница

В данной задаче требуется определить признак сходимости или расходимости бесконечного ряда ∑∞n=1f(n) на основе значения несобственного интеграла ∫+∞1f(x)dx.

Шаги решения:
1. Дано, что функция f(x) положительна и убывает.
2. Задан несобственный интеграл ∫+∞1f(x)dx.
3. Если этот интеграл сходится к значению A (конечному числу), то ряд ∑∞n=1f(n) сходится.
4. Если этот интеграл расходится (равен ∞), то ряд ∑∞n=1f(n) расходится.
5. Здесь необходимо выбрать ответ из предложенных вариантов: a. признак Даламбера, b. признак сравнения, c. признак Коши, d. необходимое условие сходимости, e. признак Лейбница.
6. Ответом будет вариант c. признак Коши, так как несобственный интеграл является интегральным признаком Коши для сходимости ряда.

Признак Коши гласит, что если для положительной и убывающей функции f(x) интеграл ∫+∞1f(x)dx сходится, то и ряд ∑∞n=1f(n) сходится. В нашей задаче данное условие выполняется и, следовательно, ряд сходится.

Таким образом, ответом на вопрос является c. признак Коши.