260*x+200*y=5 445*y+200*x-75*z=-10 275*z-75*y=12

445*y + 200*x – 75*z = -10

275*z – 75*y = 12

0.0492766726943942

$$z_{1} = frac{456}{13825}$$
=
$$frac{456}{13825}$$
=

0.0329837251356239

$$y_{1} = – frac{108}{2765}$$
=
$$- frac{108}{2765}$$
=

-0.0390596745027125

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$260 x + 200 y = 5$$
$$200 x + 445 y – 75 z = -10$$
$$- 75 y + 275 z = 12$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}0 x_{3} + 260 x_{1} + 200 x_{2} – 75 x_{3} + 200 x_{1} + 445 x_{2}275 x_{3} + 0 x_{1} – 75 x_{2}end{matrix}right] = left[begin{matrix}5 -1012end{matrix}right]$$
– это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = {det}{left (left[begin{matrix}260 & 200 & 0200 & 445 & -75 & -75 & 275end{matrix}right] right )} = 19355000$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = frac{1}{19355000} {det}{left (left[begin{matrix}5 & 200 & 0 -10 & 445 & -7512 & -75 & 275end{matrix}right] right )} = frac{109}{2212}$$
$$x_{2} = frac{1}{19355000} {det}{left (left[begin{matrix}260 & 5 & 0200 & -10 & -75 & 12 & 275end{matrix}right] right )} = – frac{108}{2765}$$
$$x_{3} = frac{1}{19355000} {det}{left (left[begin{matrix}260 & 200 & 5200 & 445 & -10 & -75 & 12end{matrix}right] right )} = frac{456}{13825}$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$260 x + 200 y = 5$$
$$200 x + 445 y – 75 z = -10$$
$$- 75 y + 275 z = 12$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}260 & 200 & 0 & 5200 & 445 & -75 & -10 & -75 & 275 & 12end{matrix}right]$$
В 1 ом столбце
$$left[begin{matrix}260200end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 1 ую строку
$$left[begin{matrix}260 & 200 & 0 & 5end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & – frac{2000}{13} + 445 & -75 & -10 – frac{50}{13}end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & frac{3785}{13} & -75 & – frac{180}{13}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}260 & 200 & 0 & 5 & frac{3785}{13} & -75 & – frac{180}{13} & -75 & 275 & 12end{matrix}right]$$
Во 2 ом столбце
$$left[begin{matrix}200\frac{3785}{13} -75end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 1 ую строку
$$left[begin{matrix}260 & 200 & 0 & 5end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}- frac{757}{2} & – frac{3785}{13} + frac{3785}{13} & -75 & – frac{180}{13} – frac{757}{104}end{matrix}right] = left[begin{matrix}- frac{757}{2} & 0 & -75 & – frac{169}{8}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}260 & 200 & 0 & 5 – frac{757}{2} & 0 & -75 & – frac{169}{8} & -75 & 275 & 12end{matrix}right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}- frac{-195}{2} & 0 & 275 & – frac{-15}{8} + 12end{matrix}right] = left[begin{matrix}frac{195}{2} & 0 & 275 & frac{111}{8}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}260 & 200 & 0 & 5 – frac{757}{2} & 0 & -75 & – frac{169}{8}\frac{195}{2} & 0 & 275 & frac{111}{8}end{matrix}right]$$
В 3 ом столбце
$$left[begin{matrix}0 -75275end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 2 ую строку
$$left[begin{matrix}- frac{757}{2} & 0 & -75 & – frac{169}{8}end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}- frac{8327}{6} + frac{195}{2} & 0 & 0 & – frac{1859}{24} + frac{111}{8}end{matrix}right] = left[begin{matrix}- frac{3871}{3} & 0 & 0 & – frac{763}{12}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}260 & 200 & 0 & 5 – frac{757}{2} & 0 & -75 & – frac{169}{8} – frac{3871}{3} & 0 & 0 & – frac{763}{12}end{matrix}right]$$
В 1 ом столбце
$$left[begin{matrix}260 – frac{757}{2} – frac{3871}{3}end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 3 ую строку
$$left[begin{matrix}- frac{3871}{3} & 0 & 0 & – frac{763}{12}end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 200 & 0 & – frac{7085}{553} + 5end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 200 & 0 & – frac{4320}{553}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & 200 & 0 & – frac{4320}{553} – frac{757}{2} & 0 & -75 & – frac{169}{8} – frac{3871}{3} & 0 & 0 & – frac{763}{12}end{matrix}right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}- frac{757}{2} – – frac{757}{2} & 0 & -75 & – frac{169}{8} – – frac{82513}{4424}end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & -75 & – frac{1368}{553}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & 200 & 0 & – frac{4320}{553} & 0 & -75 & – frac{1368}{553} – frac{3871}{3} & 0 & 0 & – frac{763}{12}end{matrix}right]$$

Все почти готово – осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$200 x_{2} + frac{4320}{553} = 0$$
$$- 75 x_{3} + frac{1368}{553} = 0$$
$$- frac{3871 x_{1}}{3} + frac{763}{12} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{2} = – frac{108}{2765}$$
$$x_{3} = frac{456}{13825}$$
$$x_{1} = frac{109}{2212}$$

x1 = 0.04927667269439421
y1 = -0.03905967450271248
z1 = 0.03298372513562387