Задачу можно решить, используя пропорции объемов пирамид и отношение длин отрезков на одном из ребер. Для этого выполним следующие шаги:
1. Обозначим через V_1 объем искомой пирамиды.
2. Так как объем пирамиды SABCD равен 216, то V_1 + V_2 = 216, где V_2 – объем пирамиды, отсеченной сечением плоскостью.
3. Обозначим через l длину отрезка SD, а через m – длину отрезка MD.
4. Поскольку отношение длин отрезков sd/md равно 1/2, получаем l/m = 1/2.
5. Обозначим через h длину отрезка MH, где H – точка пересечения плоскости с ребром AB. Так как плоскость, проходящая через M, параллельна плоскости ABC, то отрезок MH равен h/3, где 3 – отношение высот сечений пирамид SMD и SABCD.
6. Используя пропорции пирамид и зная, что SH/HB = HM/MB = h/3, можем записать V_2/V_1 = SH^2/HB^2 = (h/3)^2/(2h/3)^2 = 1/4.
7. Из пункта 2 получаем V_2 = 216 – V_1.
8. Используя пропорцию V_2/V_1 = 1/4 получаем 4V_2 = V_1.
9. Подставляем выражение для V_2 из пункта 7 в пропорцию из пункта 8: 4(216 – V_1) = V_1.
10. Упрощаем уравнение: 864 – 4V_1 = V_1.
11. Переносим переменные в одну часть уравнения: 5V_1 = 864.
12. Решаем уравнение: V_1 = 864/5 = 172.8.
Ответ: объем отсеченной пирамиды равен 172.8.