Для решения данной системы дифференциальных уравнений матричным методом, сначала составим матрицу коэффициентов системы:
A = |2 -3|
|1 -2|
Затем найдем собственные значения матрицы A:
det(A – λI) = (2 – λ)(-2 – λ) – (-3)(1) = λ^2 – 1 = 0
Таким образом, собственные значения λ_1 = 1 и λ_2 = -1.
Для каждого собственного значения найдем собственный вектор:
– Для λ_1 = 1:
(A – λ_1I)v_1 = 0
(2 – 1)v_11 + (-3)v_12 = 0
v_11 – 3v_12 = 0
Таким образом, собственный вектор v_1 = |3|
|1|
– Для λ_2 = -1:
(A – λ_2I)v_2 = 0
(2 – (-1))v_21 + (-3)v_22 = 0
3v_21 – 3v_22 = 0
Таким образом, собственный вектор v_2 = |1|
|1|
Теперь, чтобы найти общее решение системы, нужно составить линейную комбинацию собственных векторов, умножая их на соответствующие комплексные экспоненты:
x(t) = c_1 * v_1 * e^(λ_1 * t) + c_2 * v_2 * e^(λ_2 * t)
y(t) = c_1 * v_1 * e^(λ_1 * t) + c_2 * v_2 * e^(λ_2 * t)
где c_1 и c_2 – произвольные постоянные.
Таким образом, общее решение системы будет иметь вид:
x(t) = c_1 * |3| * e^t + c_2 * |1| * e^(-t)
|1| |1|
y(t) = c_1 * |3| * e^t + c_2 * |1| * e^(-t)
|1| |1|
где c_1 и c_2 – произвольные постоянные.