Дан параллелепипед ABCDA’B’C’D’. Принимая за базисные векторы e1, e2, e3 векторы AD, AA’, AB, найти в этом базисе координаты Вектора AE, где точка E является серединой отрезка C’D’

Пусть векторы AD, AA’ и AB образуют базис в пространстве. Найдем координаты вектора AE в этом базисе.

1. Нам даны базисные векторы e1, e2, e3 следующим образом:
e1 = AD
e2 = AA’
e3 = AB

2. Найдем координаты вектора CD’ и вектора CE.
Вектор CD’ = 1/2 * (AB + AD’) (так как E – середина отрезка C’D’)
Вектор CE = CD’ – e1

3. Перепишем найденные векторы CD’ и CE в базисе e1, e2, e3:
CD’ = 1/2 * (AB + AD’) = 1/2 * (AB) + 1/2 * (AD’) = 1/2 * e3 + 1/2 * (-e1) = 1/2 * e3 -1/2 * e1
CE = CD’ – e1 = 1/2 * e3 – 1/2 * e1 – e1 = 1/2 * e3 -3/2 * e1

4. Координаты вектора CE в базисе e1, e2, e3:
CE = (1/2 * e3 -3/2 * e1, 0, 0)

Таким образом, координаты вектора AE в базисе e1, e2, e3 равны:
(AE в базисе e1, e2, e3) = ((CD’ в базисе e1, e2, e3) – (e1 в базисе e1, e2, e3)) = (1/2 * e3 -3/2 * e1, 0, 0) – (e1, 0, 0) = (-3/2 * e1, 0, 0).