Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать тригонометрический закон синусов и теорему Пифагора.
1. Сначала найдем значение сторон треугольника ABC. Из условия задачи мы знаем, что угол C равен 90 градусов, поэтому сторона С – гипотенуза треугольника. Пусть а – длина стороны АВ, b – длина стороны ВС и с – длина стороны АС.
2. Используя теорему Пифагора, можем записать уравнение: а² + b² = с², где с – гипотенуза и с = √(а² + b²).
3. Зная, что sinB = противолежащая/гипотенуза = b/с, можем записать уравнение sinB = 2√3/10. Подставим с = √(а² + b²) в это уравнение и решим его относительно b.
4. Упростим уравнение sinB = b/√(а² + b²): (√3/10) = b/√(а² + b²).
5. Возведем обе части уравнения в квадрат и получим: 3/100 = b²/(а² + b²).
6. Умножим обе части уравнения на (а² + b²) и получим: 3(а² + b²) = 100b².
7. Раскроем скобки и получим уравнение: 3а² + 3b² = 100b².
8. Перенесем все члены на одну сторону и получим: 97b² = 3а².
9. Разделив обе части на а², получим: (97/3) = (b/a)².
10. Так как cos²B = 1 – sin²B, то можем записать уравнение: cos²B = 1 – (2√3/10)².
11. Подставим значение sinB в это уравнение и решим: cos²B = 1 – 12/100 = 1 – 3/25 = 22/25.
Ответ: cos²B = 22/25.