Для решения задачи а) найдем векторы AB и BC, а затем используем формулу скалярного произведения векторов для вычисления угла между ними.
1. Найдем вектор AB:
AB = B – A = (1;2;-7) – (3;-1;-1) = (-2;3;-6).
2. Найдем вектор BC:
BC = C – B = (-5;14;-3) – (1;2;-7) = (-6;12;4).
3. Вычислим скалярное произведение векторов AB и BC:
AB ⋅ BC = (-2;3;-6) ⋅ (-6;12;4) = (-2)(-6) + 3⋅12 + (-6)(4) = 12 + 36 – 24 = 24.
4. Найдем длины векторов AB и BC:
|AB| = √((-2)^2 + 3^2 + (-6)^2) = √4 + 9 + 36 = √49 = 7.
|BC| = √((-6)^2 + 12^2 + 4^2) = √36 + 144 + 16 = √196 = 14.
5. Используем формулу скалярного произведения векторов:
cos(θ) = AB ⋅ BC / (|AB| ⋅ |BC|) = 24 / (7 ⋅ 14) = 24 / 98 = 6 / 49.
6. Найдем угол θ, используя обратную функцию косинуса (арккосинус):
θ = arccos(6 / 49).
Теперь перейдем к задаче б) и найдем уравнение медианы, проведенной из вершины A. Медиана делит сторону BC пополам и соединяет вершину A с серединой стороны BC.
1. Найдем середину стороны BC, используя формулу средней точки участка прямой:
D = (B + C) / 2 = [(1;2;-7) + (-5;14;-3)] / 2 = (-4;16;-10) / 2 = (-2;8;-5).
2. Найдем вектор AD:
AD = D – A = (-2;8;-5) – (3;-1;-1) = (-5;9;-4).
3. Уравнение медианы можно записать в параметрической форме:
x = 3 + (-5)t,
y = -1 + 9t,
z = -1 + (-4)t,
где t – параметр.
Таким образом, уравнение медианы, проведенной из вершины A, имеет вид:
x = 3 – 5t,
y = -1 + 9t,
z = -1 – 4t.