Метод Гаусса (или метод исключения) – это алгоритм, который позволяет решить систему линейных уравнений путем преобразования ее расширенной матрицы. В данном случае у нас есть система из трех уравнений с тремя неизвестными:
х1 + 4х2 – 2х3 = -51
-9х1 – 5х2 + 6х3 = 91
7х1 – 2х2 + х3 = 33
1. Преобразуем систему уравнений в матричную форму (расширенную матрицу):
1 4 -2 | -51
-9 -5 6 | 91
7 -2 1 | 33
2. Применим преобразования строк для обнуления элементов под главной диагональю и получения треугольной матрицы:
Для этого мы будем вычитать из одной строки другую, умноженную на определенное число.
a) Умножим первую строку на 9 и сложим с умноженной на -1 второй строкой:
9 36 -18 | -459
0 31 -9 | -68
7 -2 1 | 33
b) Умножим первую строку на -7 и сложим с умноженной на 1 третьей строкой:
-63 14 -9 | -327
0 31 -9 | -68
7 -2 1 | 33
3. Полученная матрица представляет собой треугольную систему уравнений. Теперь найдем значения переменных, начиная с последней строки:
a) Решим последнее уравнение:
31х2 – 9х3 = -68
Решим легче задачу относительно х3: х3 = (31х2 + 68) / 9
b) Решим второе уравнение:
14х1 + (-9х3) = -327
14х1 + (-9)((31х2 + 68) / 9) = -327
14х1 – 31х2 – 68 = -327
14х1 – 31х2 = -259
c) Решим первое уравнение:
9х1 + 36х2 + (-18)((31х2 + 68) / 9) = -459
9х1 + 36х2 – 18(31х2 + 68) / 9 = -459
9х1 + 36х2 – 2(31х2 + 68) = -459
9х1 + 36х2 – 62х2 – 136 = -459
9х1 – 26х2 = -323
4. Таким образом, получаем следующую систему уравнений:
9х1 – 26х2 = -323
14х1 – 31х2 = -259
х3 = (31х2 + 68) / 9
Теперь можно найти значения переменных х1, х2 и х3.