Для определения, являются ли векторы a, b, c линейно независимыми, нужно проверить, существуют ли такие коэффициенты x, y, z, что x*a + y*b + z*c = 0, где 0 – нулевой вектор.
1. Решим уравнение x*a + y*b + z*c = 0. Подставим значения векторов a, b, c и получим систему уравнений:
x*1 + y*0 + z*1 = 0
x*0 + y*(-1) + z*(-2) = 0
x*(-2) + y*3 + z*(-4) = 0
2. Система уравнений примет вид:
x + z = 0
-y – 2z = 0
-2x + 3y – 4z = 0
3. Решим систему уравнений, используя метод Гаусса или метод Крамера, и найдем ее решение.
Приведем систему к ступенчатому виду:
x + z = 0
-y – 2z = 0
-2x + 3y – 4z = 0
Добавим к третьему уравнению два первых:
-2x + 3y – 4z + 2(x + z) – (y + 2z) = 0
-2x + 3y – 4z + 2x + 2z – y – 2z = 0
-y – 4z = 0
Заменим второе уравнение на полученное третье:
x + z = 0
-y – 4z = 0
Теперь можем выразить x и y через z:
x = -z
y = -4z
Таким образом, система имеет бесконечное количество решений, то есть векторы a, b, c линейно зависимы.
4. Далее необходимо представить вектор d как линейную комбинацию векторов a, b, c, если это возможно. Обозначим коэффициенты перед векторами a, b, c как x, y, z соответственно.
Формула линейной комбинации: d = x*a + y*b + z*c
Расставим значения и выразим коэффициенты:
d = x*(1,0,-2) + y*(0,-1,3) + z*(1,-2,-4)
d = (x, 0, -2x) + (0, -y, 3y) + (z, -2z, -4z)
Собирая соответствующие компоненты, получаем:
(x + z, -y – 2z, 3y – 4z)
Таким образом, вектор d можно представить в виде линейной комбинации векторов a, b, c с коэффициентами x = 1, y = -2, z = 1.
5. Наконец, найдем координаты вектора d в базисе (a, c, b). Найденные коэффициенты x, y, z являются этими координатами:
(x, y, z) = (1, -2, 1)
Таким образом, координаты вектора d в базисе (a, c, b) равны (1, -2, 1).