Для решения этой задачи мы можем использовать теорему Пифагора и пропорции.
1. Обозначим отрезок AO через х. Так как AO:OB = AC:BD, то OB = BD * (AO / AC). Подставляя значения, получаем OB = 9 * (х / 7).
2. Согласно теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике АВО выполняется соотношение АВ^2 = АO^2 + OB^2. Подставляя значения, получаем 32^2 = х^2 + (9 * (х / 7))^2.
3. Упростим это уравнение. 32^2 = х^2 + (9х / 7)^2 становится 1024 = х^2 + (81х^2 / 49).
4. Умножим обе стороны уравнения на 49, чтобы избавиться от знаменателя. Получится 50276 = 49х^2 + 81х^2.
5. Сложим коэффициенты при х^2, получим 130х^2 = 50276.
6. Разделим обе стороны уравнения на 130, чтобы выразить x^2. Получим х^2 = 386. Отсюда получаем, что х ≈ 19.6 (округление до десятых).
Таким образом, AO ≈ 19.6 см.