Рассмотрим систему линейных уравнений Σ: $ & % x1 ` kx2 ` x3 “ k x1 ´ kx3 “ k кх1 ´ х3 “ к ` 2, k является действительным параметром. (i) Определите значения k, при которых система совместима. (ii) Укажите значения k, для которых множество решений составляет прямая линия в R 3 . Приведите параметрический вид этой линии. (iii) Определить значения k, при которых множество решений составляет векторное подпространство в R 3

Дана система линейных уравнений:

$begin{cases} x_1 + kx_2 + x_3 = k kx_1 – kx_3 = k kx_1 – x_3 = k – 2 end{cases}$

(i) Чтобы определить значения k, при которых система совместима, нужно проверить, есть ли решения для любых значений k. Для этого нужно проверить, равно ли число свободных переменных количеству уравнений, то есть число ненулевых строк в расширенной матрице системы.

Приведем систему к матричному виду:

$begin{bmatrix} 1 & k & 1 k & 0 & -k k & 0 & -1 end{bmatrix} begin{bmatrix} x_1 x_2 x_3 end{bmatrix} = begin{bmatrix} k k k-2 end{bmatrix}$

Вычислим определитель этой матрицы и равенство числа свободных переменных количеству уравнений:

$begin{vmatrix} 1 & k & 1 k & 0 & -k k & 0 & -1 end{vmatrix} = k^2 + 2k = k(k+2)$

Таким образом, система будет совместима при любых значениях k, кроме k = 0 и k = -2.

(ii) Чтобы найти значения k, для которых множество решений системы составляет прямую линию в R3, нужно определить, при каких k система имеет бесконечное количество решений.

Для этого нужно проверить, равны ли ранги расширенной матрицы системы и основной матрицы системы.

Ранг основной матрицы (матрицы коэффициентов) равен 2:

$begin{bmatrix} 1 & k & 1 k & 0 & -k k & 0 & -1 end{bmatrix} rightarrow begin{bmatrix} 1 & k & 1 0 & -k^2 & -k-1 0 & 0 & -2(k+1) end{bmatrix}$

Ранг расширенной матрицы равен 2, когда k ≠ 0 и k ≠ -1.

Когда k = 0 и k = -1, получаем ранг расширенной матрицы равный 3, что означает, что система не имеет решений.

Таким образом, множество решений системы составляет прямую линию в R3 для всех k, кроме k = 0 и k = -1.

(iii) Чтобы определить значения k, при которых множество решений составляет векторное подпространство в R3, нужно проверить, будет ли данное множество замкнутым относительно операций сложения и умножения на скаляр.

Векторное подпространство будет существовать при любых значениях k, так как решения системы образуют прямую линию, которая является замкнутой относительно операций сложения и умножения на скаляр.

Таким образом, множество решений системы составляет векторное подпространство в R3 для любых значений k.